Enunciado

Verifique se a conclusão do Teorema de Clairut é válida, isto é, u x y = u y x .

u = cos ⁡ ( x 2 y )

Passo 1

A questão pede para você verificar se é possível inverter a ordem das derivadas mistas. Para isso, vamos calcular essas derivadas e compará-las!

A primeira derivada com relação a x é

u x = - s e n   x 2 y ⋅ 2 x y = - 2 x y   s e n   ( x 2 y )

Com relação a y :

u y = - s e n   x 2 y ⋅ x 2 = - x 2 s e n   ( x 2 y )

Passo 2

Como queremos as derivadas mistas, vamos derivar u x com relação a y :

u x y = - 2 x   s e n   x 2 y - 2 x y cos ⁡ x 2 y ⋅ x 2 = - 2 x   s e n   x 2 y - 2 x 3 y cos ⁡ x 2 y

Derivando u y com relação a x :

u y x = - 2 x   s e n   x 2 y - x 2 cos ⁡ x 2 y ⋅ 2 x y = - 2 x   s e n   x 2 y - 2 x 3 y cos ⁡ x 2 y

Vemos que de fato

u x y = u y x

Vale o Teorema de Clairut!

Resposta

Sim

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