Enunciado

Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor.

∫ 0 1 d x 1 - x 2 3 2

Passo 1

Aqui temos que em 1 - x 2 existe uma descontinuidade infinita em x = 1 , assim vamos ter que a integral é igual ao limite:

∫ 0 1 d x 1 - x 2 3 2 = lim s → 1 ⁻ ⁡ ∫ 0 s d x 1 - x 2 3 2

Então vamos lá, a integral imprópria converge se esse limite existir, e diverge se não existir, para saber isso vamos calcular essa integral e depois aplicar no limite.

Passo 2

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x 1 - x 2 3 2

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, vamos fazer x = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

x = sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ x

d x = cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ d x 1 - x 2 3 2 = ∫ 1 1 - sen 2 ⁡ θ 3 2 cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 1 1 - sen 2 ⁡ θ 3 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos 2 ⁡ θ 3 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos 2 ⁡ θ 3 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 1 cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ se c 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = sen ⁡ θ , ou seja, sen ⁡ θ = x , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg ⁡ θ :

Assim:

tg ⁡ θ = x 1 - x 2

Substituindo ficamos com:

∫ d x 1 - x 2 3 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ + C = x 1 - x 2 + C

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar ao limite:

lim s → 1 ⁻ ⁡ ∫ 0 s d x 1 - x 2 3 2 = lim s → 1 ⁻ ⁡ x 1 - x 2 0 s = lim s → 1 ⁻ ⁡ s 1 - s 2 - 0 1 - 0 2 = lim s → 1 ⁻ ⁡ s 1 - s 2 - 0 = + ∞

Pronto, o limite não existe, então a integral diverge.

Resposta

A integral diverge

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral ∫ x x 2 - 7 d x
Calcule a integral ∫ 0 1 x 2 + 1d x
Calcule a integral ∫ 0 0,6 x 2 9 - 25 x 2 d x
Calcule a integral ∫ 0 1 x x 2 + 4d x
Calcule a integral ∫ x 2 - a 2 x 4 d x