Enunciado

O volume de uma célula esférica em crescimento é

V = 4 3 π r 3

Onde r é medido em micrômetros ( 1 μ m = 10 - 6 m ) . Encontre a taxa de variação média de V em relação a r quando r varia de

5 a 8 μ m

5 a 6 μ m

5 a 5,1 μ m

Encontre a taxa de variação instantânea em relação a r quando r = 5 μ m

Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação a seu raio é igual a área de sua superfície. Prove geometricamente por que esse resultado é verdadeiro. Mostre um argumento análogo ao do Exercício 13(c).

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá volume de uma célula esférica em crescimento:

V = 4 3 π r 3

Onde r é medido em micrômetros ( 1 μ m = 10 - 6 m ) e temos que encontrar: a taxa de variação média de V em relação a r . ��

Repara na palavra MÉDIA, isso significa que não vamos usar a derivada aqui. A taxa de variação média do volume é dado por :

Δ V m = V r + ∆ r - V r ∆ r

Devemos fazer esse cálculo pra 3 condições diferentes:

V 8 - V 5 8 - 5 = 2048 π 3 - 500 π 3 3 = 2048 π - 500 π 3 ⋅ 3 = 1548 π 9 = 172 π

V 6 - V 5 6 - 5 = 864 π 3 - 500 π 3 1 = 364 π 3 ≈ 121,3 π

V 5,1 - V 5 5,1 - 5 = 530,604 π 3 - 500 π 3 0,1 = 30,604 π 0,1 ⋅ 3 ≈ 102 π

Passo 2

Na letra (b) vamos calcular a taxa de variação instantânea do volume, que é dado pela derivada de V em relação ao raio:

V ' r = 4 π r 2

Agora calculamos V ' ( 5 ) :

V ' 5 = 4 π ⋅ 5 2 = 4 π ⋅ 25 = 100 π

Passo 3

Agora a gente tem que provar que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação a seu raio é igual a área de sua superfície.

A área de superfície de uma esfera é:

A = 4 π r 2

No passo anterior vimos que:

V ' r = 4 π r 2 = A

Provado!

Passo 4

Agora vamos mostrar geometricamente que esse resultado é verdadeiro! Para isso vamos calcular o Δ V   fazendo:

∆ V = V r + ∆ r - V r

Substituindo:

∆ V = 4 3 π r + ∆ r 3 - 4 3 π r 3

∆ V = 4 3 π r 3 + 4 π r 2 ∆ r + 4 π r ∆ r 2 + 4 3 π ∆ r 3 - 4 3 π r 3

∆ V = 4 π r 2 ∆ r + 4 π r ∆ r 2 + 4 3 π ∆ r 3

Quando ∆ r for muito pequeno, temos que ∆ r 2 ≈ 0   e   ∆ r 3 ≈ 0 . Daí:

∆ V = 4 π r 2 ( ∆ r )

Logo,

∆ V ∆ r = 4 π r 2

Exatamente o que a gente achou calculando a derivada do volume!

Resposta

i) 172 π

ii) 121,3 π

iii) 102 π

V ' 5 = 100 π

Desenvolvimento acima.

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