Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.7 - Ex. 16
O volume de uma célula esférica em crescimento é
Onde é medido em micrômetros () . Encontre a taxa de variação média de em relação a quando varia de
5 a 8
5 a 6
5 a 5,1
Encontre a taxa de variação instantânea em relação a quando
Mostre que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação a seu raio é igual a área de sua superfície. Prove geometricamente por que esse resultado é verdadeiro. Mostre um argumento análogo ao do Exercício 13(c).
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá volume de uma célula esférica em crescimento:
Onde é medido em micrômetros () e temos que encontrar: a taxa de variação média de em relação a
Repara na palavra MÉDIA, isso significa que não vamos usar a derivada aqui. A taxa de variação média do volume é dado por :
Devemos fazer esse cálculo pra condições diferentes:
Passo 2
Na letra (b) vamos calcular a taxa de variação instantânea do volume, que é dado pela derivada de em relação ao raio:
Agora calculamos :
Passo 3
Agora a gente tem que provar que a taxa de variação do volume de uma esfera em relação a seu raio é igual a área de sua superfície.
A área de superfície de uma esfera é:
No passo anterior vimos que:
Provado!
Passo 4
Agora vamos mostrar geometricamente que esse resultado é verdadeiro! Para isso vamos calcular o fazendo:
Substituindo:
Quando for muito pequeno, temos que . Daí:
Logo,
Exatamente o que a gente achou calculando a derivada do volume!
Resposta
i)
ii)
iii)
Desenvolvimento acima.