Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 45
Se for uma série convergente com termos positivos, é verdade que também será convergente?
Passo 1
Primeiramente, vamos tentar provar que , para isso vamos analisar as derivadas em .
Para ambas as funções, e , a derivada no ponto é . Para a derivada é constantemente. Para , a derivada , tem como seu valor máximo e se analisarmos em valores próximos de , após esse ponto a derivada começa a diminuir, enquanto a de é constante e como o máximo que a derivada do seno vale é , após ela nunca vai passar , logo , para valores de .
Passo 2
Sabendo disso, é possível afirmar que , para todo e como converge, já que foi dado no enunciado, pelo teste da comparação
Também converge.
Resposta
Sim.
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que, se a n0 e ∑ a n for convergente, então ∑ ln 1 + a n é convergente.
Ver Mais
Se ∑ a n e ∑ b n forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que ∑ a n b n também será convergente?
Ver Mais
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n 3 + 1
Ver Mais
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 2 n 2 + 5
Ver Mais
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ tg ( 1 / n )
Ver Mais