Enunciado

Se ∑ a n for uma série convergente com termos positivos, é verdade que ∑ sen ⁡ ( a n ) também será convergente?

Passo 1

Primeiramente, vamos tentar provar que sen ⁡ x < x ,   ∀ x > 0 , para isso vamos analisar as derivadas em x = 0 .

Para ambas as funções, y = sen ⁡ x e y = x , a derivada no ponto x = 0 é 1 . Para y = x a derivada é 1 constantemente. Para y = sen ⁡ x , a derivada y ' = cos ⁡ x , tem como 1 seu valor máximo e se analisarmos em valores próximos de x = 0 , após esse ponto a derivada começa a diminuir, enquanto a de y = x é constante e como o máximo que a derivada do seno vale é 1 , após x = 0 ela nunca vai passar y = x , logo sen ⁡ x < x , para valores de x > 0 .

Passo 2

Sabendo disso, é possível afirmar que sen ⁡ ( a n ) < a n , para todo n > 0 e como ∑ a n converge, já que foi dado no enunciado, pelo teste da comparação

∑ sen ⁡ ( a n )

Também converge.

Resposta

Sim.

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Mostre que, se a n0 e ∑ a n for convergente, então ∑ ln ⁡ 1 + a n é convergente.
Se ∑ a n e ∑ b n forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que ∑ a n b n também será convergente?
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 n 3 + 1
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 2 n 2 + 5
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ tg ⁡ ( 1 / n )