Teoria Completa
Sequências crescentes e decrescentes
Oi, pessoal! Tudo bom? Neste tópico nós vamos falar do teorema da sequência monótona. Mas para falar do teorema, antes temos que entender o que é uma sequencia monótona.
Para isso, eu trouxe duas sequências como exemplo:
Repara que o termo seguinte da sequência é sempre maior que o anterior. Então essa é uma sequência crescente. Uma sequência é dita crescente quando:
Agora, vamos para o nosso segundo exemplo,
Agora acontece o contrario! O termo seguinte da sequência é sempre menor que o anterior. Então essa é uma sequência decrescente. E ela é dita decrescente quando:
Então, por que eu estou falando disso? Porque se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente, ela é chamada de monótona.
Antes de falar do teorema, eu tenho ter uma conversinha com vocês sobre sequência limitada!
Sequência Limitada
O que diabos é limitada? Bem, primeiro vamos ver o que é limitada inferiormente.
Vou usar um exemplo que a gente já conhece,
Nessa sequência nós estamos pegando números naturais e partindo do 1. Então:
Aqui, temos um número, no caso o , que é menor que todos os termos da sequência, é isso que significa que ela é limitada inferiormente. Na prática significa que existe um número que é menor que geral da sequência, beleza?
Agora vamos ver o que é limitada superiormente. E vamos usar outro exemplo que a gente já conhece,
Repara que o valores da sequência sempre vão diminuindo e o maior valor dessa sequência é 1. Agora que achamos um número maior que todos da sequência, sabemos que ela é limitada superiormente.
Sacou?
Agora, ser limitada significa ser limitada superiormente e inferiormente. Vamos olhar agora a sequência , lembrando que
Essa é uma sequência limitada. Sacou? A gente precisa achar um número que seja maior que todos os outros da sequência e outro que seja menor que todos da sequência.
Pronto, agora que já entendemos alguns conceitos, vamos para o teorema!
Teorema da sequência monótona
Então galera, este é o tão aguardado teorema da sequência monótona.
E para que ele serve? Às vezes o limite do termo geral da sequência é muito difícil de calcular ou a questão simplesmente não nos deu o termo geral, imagina que temos:
Repara que ele não disse absolutamente nada dessa sequência né? Tentar escrever o termo geral aqui vai dar um trabalho monstruoso. Como achamos se essa sequência é convergente ou não?
Na prática, temos que ver primeiro se a sequência é monótona. Se ela for podemos usar o teorema. Aí é só ver se ela é limitada ou não. Não precisamos saber como é o termo geral.
Interessante, não? Então muitas vezes vamos utilizar somente o fato de que a sequência é monótona e limitada para chegarmos à conclusão que ela é convergente.
Não sabemos nada da sequência, então vamos ver se ela é monótona. Nessas horas temos duas formas de fazer, ou manipular enlouquecidamente para ver se é crescente ou decrescente. Isso, normalmente, não é muito fácil.
A melhor maneira é achar:
Depois vemos se ela é maior ou menor que . Se ela for maior que 1, temos uma sequência crescente. Se for menor que 1, temos uma sequencia decrescente. Sacou?
Vamos calcular isso aqui
Repara que como temos
Que é menor que , então temos que a sequência é decrescente.
Vamos ver agora se ela é limitada. Primeiro repara que se ela é decrescente, todo mundo é menor que . Então se acharmos um número que é menor que todo mundo da sequência, então ela será também limitada inferiormente.
Como , e , todo termo vai ser positivo. Se dividirmos por , independente do esse cara vai ser positivo, já que . Isso nos diz que
Opa, essa sequência é limitada.
Então pelo teorema, como ela é limitada e monótona, ela é convergente.
Exercício Resolvido #1
Mostre que a sequência
é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não se esqueça de justificar.)
Passo 1
Primeiro, vamos tomar o termo geral:
E calcular os primeiros termos:
Isso mostra que os termos estão decrescendo ou permanecendo o mesmo. Isso parece uma sequência não crescente.
Passo 2
Então, queremos ver se :
Portanto,
Como isso é sempre verdade já que , a afirmação é verdadeira e a sequência é monótona não crescente.
Passo 3
Como o primeiro termo é o máximo (a sequência é não crescente), ele pode ser uma cota superior ().
Uma cota inferior pode ser o (não incluído), pois todos os termos devem ser positivos: .
Como existe uma cota inferior e uma superior, concluímos que a sequência é limitada.
Passo 4
Finalmente, segue do teorema que se a sequência é monótona e limitada, então ela é convergente.
Resposta
Monótona não crescente; ; ; limitada; convergente.
Exercício Resolvido #2
Seja a sequência dada por:
- Sabendo que, para todo , , mostre que converge.
- Calcule
Passo 1
a1)
A gente tem que olhar as características dessa função para provar que ela é convergente, temos um valor inicial, que é o .
Agora vamos ver se ela é convergente ou não, repara que essa sequência é limitada, se ela for decrescente ela converge, se ela for crescente ela diverge.
Vamos ver isso:
Vamos analisar:
Queremos ver se esse cara é menor que :
Ele disse no enunciado que:
Isso diz que o numerador é negativo e o denominador é positivo, assim nas condições que ele deu vamos ter:
Assim, a sequência é decrescente. E Consequentemente ela é convergente.
Passo 2
a2)
Pela teoria, como ela é convergente:
Fazendo o limite da relação temos:
Assim temos:
E temos:
Assim:
Resposta
Converge para
Exercício Resolvido #3
Seja a sequência dada por:
e
Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando
Passo 1
A gente tem que olhar as características dessa sequência para provar que ela é convergente.
Lembra aqui comigo: se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente ela é chamada monótona. Vamos ver se a nossa sequência é monótona.
Daí temos que:
Assim, a sequência é sempre decrescente e portanto monótona.
Beleza, e aí tem um teorema não sei das quantas que diz que uma sequência monótona só é convergente se ela for limitada.
Beleza, então temos que provar que essa sequência é limitada.
Passo 2
Se a sequência é descrescente todo mundo vai ser menor que , concorda? E como , todo mundo vai ser menor que 1, então a sequência já é limitada superiormente.
Agora temos que ver se ela é limitada inferiormente. Nós sabemos:
e
Como os termos são todos positivos, essa sequência vai ser sempre maior que zero. Então ela também é limitada inferiormente.
Passo 3
Show, agora vamos calcular o limite:
Vamos isolar :
Beleza, agora manipulando um pouco:
Chamando todos esses limites de L:
Beleuza.
Resposta
A sequência é convergente porque é monótona (sempre decrescente) e limitada superior e inferiormente.
Exercício Resolvido #4
Verifique se existe
Passo 1
Bem bem, percebe que ele pede pra verificar se o limite existe, não necessariamente calcular ele.
A outra alternativa é ver se esse termo é decrescente e se ele é limitado inferiormente, isso garante que o limite existe.
Se for crescente e for limitado inferiormente o limite não vai existir.
Passo 2
Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar:
Vai ser:
Podemos cortar um monte de gente e isso vai ficar assim:
Então:
Como o numerador é menor que o denominador temos
E tchã! Graças ao paranauê, provamos que ela é decrescente.
Passo 3
Vamos ver agora como mostramos que ela tem um limite inferior, repara que temos um produto gigante, começando com então essa multiplicação toda vai ser maior que
Como ela é limitada inferiormente e é decrescente ela converge.
Mas não foi isso que o enunciado perguntou, não é mesmo?
Ele perguntou se o limite existe. Não pediu pra calcular, só perguntou se existe! E como provamos que a série é monótona limitada, ela converge. E como ela converge, o limite existe.
Resposta
O limite existe.