Teorema da Sequência Monótona

Teoria Completa

Introdução

Às vezes o limite do termo geral da sequência é muito difícil de calcular ou a questão simplesmente não nos deu o termo geral, imagina que temos:

a 1 > 0

a n + 1 = a n 2 n

Repara que ele não disse absolutamente nada dessa sequência né? Tentar escrever o termo geral aqui vai dar um trabalho monstruoso. Como achamos se essa sequência é convergente ou não?

Nesses casos temos que procurar duas coisas, primeiro é se a sequência é monótona. WTF? Vamos ver o que é isso.

Sequências crescentes e decrescentes

Vamos agora aprender um conceito “novo” para sequências.

Uma sequência é dita crescente quando:

P a r a   t o d o   n   ∈   N     a n <   a n + 1

E ela é dita decrescente quando:

P a r a   t o d o   n   ∈   N     a n + 1 <   a n

Se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente, ela é chamada de monótona.

Mas por que estamos vendo isso? Calma, vamos ver um teorema que facilitará muito nossa vida para sequências como aquela ali em cima.

O teorema diz o seguinte:

Antes de entender o teorema vamos ver o que é uma sequência limitada.

Sequência Limitada

O que diabos é limitada? Bem, primeiro vamos ver o que é limitada inferiormente.

A sequência n n ∈ N vai ser sempre maior que 0 certo? Ali estamos pegando os números naturais.

Então:

a n > 0

Aqui, temos um número, no caso o 0 , que é menor que todos os termos da sequência, é isso que significa que ela é limitada inferiormente. Na prática significa que existe um número que é menor que geral da sequência, blz?

Agora vamos ver o que é limitada superiormente.

A sequência - n n ∈ N são os números negativos, começando no - 1 , então repara que todos os termos dessa sequência são negativos, ou seja

a n < 0

Agora achamos um número maior que todos da sequência, é isso que significa ser limitada superiormente.

Sacou?

Agora, ser limitada significa ser limitada superiormente e inferiormente. Vamos olhar agora a sequência sen ⁡ n n ∈ N , lembrando que

- 1 ≤ sen ⁡ n ≤ 1

Essa é uma sequência limitada. Sacou? A gente precisa achar um número que seja maior que todos os outros da sequência e outro que seja menor que todos da sequência.

Teorema da sequência monótona

Vamos rever o teorema

Na prática, temos que ver primeiro se a sequência é monótona. Se ela for podemos usar o teorema. Aí é só ver se ela é limitada ou não. Não precisamos saber como é o termo geral.

Interessante, não? Então muitas vezes vamos utilizar somente o fato de que a sequência é monótona e limitada para chegarmos à conclusão que ela é convergente.

Vamos ver aquela sequência que está no início.

a 1 > 0

a n + 1 = a n 2 n

Não sabemos nada da sequência, então vamos ver se ela é monótona. Nessas horas temos duas formas de fazer, ou manipular enlouquecidamente para ver se é crescente ou decrescente. Isso, normalmente, não é muito fácil.

A melhor maneira é achar:

a n + 1 a n

Depois vemos se ela é maior ou menor que 1 . Porque aí teremos:

a n + 1 a n > 1 ⇒ a n + 1 > a n

Ou

a n + 1 a n < 1 ⇒ a n + 1 < a n

Sacou? Vamos calcular isso aqui

a n + 1 a n = a n 2 n a n = 1 2 n

Repara que como n ≥ 1 temos

1 2 n ≤ 1 2 1

Que é menor que 1 , então temos

a n + 1 a n < 1 ⇒ a n + 1 < a n

Isso nos diz que a sequência é decrescente.

Vamos ver agora se ela é limitada. Primeiro repara que se ela é decrescente, todo mundo é menor que a 1 . Então se acharmos um número que é maior que todo mundo da sequência, então ela será também limitada superiormente.

Como a 1 > 0 , e a n + 1 = a n / 2 n , todo termo vai ser positivo. Se dividirmos 1 por 2 n , independente do n esse cara vai ser positivo. Isso nos diz que

0 < a n ≤ 1

Opa, essa sequência é limitada.

Como ela é limitada e monótona, ela é convergente.

É só seguir essa lógica nesses casos que conseguimos matar a questão.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2b

( b ) Mostre que a sequência

2 n n !

é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não se esqueça de justificar.)

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Passo 1

Primeiro, vamos tomar o termo geral:

a n = 2 n n !

E calcular os primeiros termos:

a 1 = 2

a 2 = 2 2 2 ! = 2

a 3 = 2 3 3 ! = 4 3

a 4 = 2 4 4 ! = 2 3

a 5 = 2 5 5 ! = 4 15

Isso mostra que os termos estão decrescendo ou permanecendo o mesmo. Isso parece uma sequência não crescente.

Passo 2

Então, queremos ver se a n + 1 ≤ a n :

2 n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ 2 n n !

2 . 2 n n + 1 . n ! ≤ 2 n n !

2 n + 1 ≤ 1

Portanto,

2 ≤ n + 1

Como isso é sempre verdade já que n ∈ N * , a afirmação é a n + 1 ≤ a n verdadeira e a sequência é monótona não crescente.

Passo 3

Como o primeiro termo é o máximo (a sequência é não crescente), ele pode ser uma cota superior ( a n ≤ 2 ).

Uma cota inferior pode ser o 0 (não incluído), pois todos os termos devem ser positivos: a n > 0 .

Como existe uma cota inferior e uma superior, concluímos que a sequência é limitada.

Passo 4

Finalmente, segue do teorema que se a sequência é monótona e limitada, então ela é convergente.

Resposta

Monótona não crescente; a n ≤ 2 ; a n > 0 ; limitada; convergente.

Exercício Resolvido #2

USP - Cálculo 4 - P1 2012 – 1a

Seja a n n = 1 ∞ a sequência dada por:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

a 1 = 3

  1. Sabendo que, para todo n ≥ 1 , a n > 3 , mostre que a n n = 1 ∞ converge.
  2. Calcule

lim n → ∞ ⁡ a n

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Passo 1

a1)

A gente tem que olhar as características dessa função para provar que ela é convergente, temos um valor inicial, que é o 3 .

Agora vamos ver se ela é convergente ou não, repara que essa sequência é limitada, se ela for decrescente ela converge, se ela for crescente ela diverge.

Vamos ver isso:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

Vamos analisar:

a n + 1 a n = 3 1 + a n 3 + a n a n = 3 1 + a n 3 + a n a n

Queremos ver se esse cara é menor que 1 :

a n + 1 a n = 3 1 + a n 3 + a n a n < 1

3 1 + a n 3 + a n a n - 1 ≤ 0

3 1 + a n - 3 + a n a n 3 + a n a n ≤ 0

3 + 3 a n - 3 a n - a n 2 3 + a n a n ≤ 0

3 - a n 2 3 + a n a n ≤ 0

Ele disse no enunciado que:

a n > 3

Isso diz que o numerador é negativo e o denominador é positivo, assim nas condições que ele deu vamos ter:

a n + 1 a n < 1

Assim, a sequência é decrescente. E Consequentemente ela é convergente.

Passo 2

a2)

Pela teoria, como ela é convergente:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Fazendo o limite da relação temos:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 1 + a n 3 + a n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = 3 1 + lim n → ∞ ⁡ a n 3 + lim n → ∞ ⁡ a n

Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = L

E temos:

L = 3 1 + L 3 + L

L 3 + L = 3 + 3 L

3 L + L 2 = 3 + 3 L

L 2 = 3

Assim:

L = 3

Resposta

Converge para

L = 3

Exercício Resolvido #3

USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 1b

Seja x n n ≥ 1 a sequência dada por:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando n → ∞ .

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Passo 1

A gente tem que olhar as características dessa sequência para provar que ela é convergente.

Lembra aqui comigo: se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente ela é chamada monótona. Vamos ver se a nossa sequência é monótona.

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n > 1 x n + 1

1 x n + 2 > 1 x n + 1

Daí temos que:

x n + 2 < x n + 1

Assim, a sequência é sempre decrescente e portanto monótona.

Beleza, e aí tem um teorema não sei das quantas que diz que uma sequência monótona só é convergente se ela for limitada.

Beleza, então temos que provar que essa sequência é limitada.

Passo 2

Se a sequência é descrescente todo mundo vai ser menor que x 1 , concorda? E como x 1 = 1 , todo mundo vai ser menor que 1, então a sequência já é limitada superiormente.

x n ≤ 1

Agora temos que ver se ela é limitada inferiormente. Nós sabemos:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Como os termos são todos positivos, essa sequência vai ser sempre maior que zero. Então ela também é limitada inferiormente.

Passo 3

Show, agora vamos calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ x n ,   c o m :

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Vamos isolar x n + 2 :

1 x n + 2 = x n + x n + 1 x n + 1 x n

x n + 2 = x n + 1 x n x n + x n + 1

lim n → ∞ ⁡ x n = lim n → ∞ ⁡ x n + 2 = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 x n x n + x n + 1

Beleza, agora manipulando um pouco:

lim n → ∞ ⁡ x n + 2 = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 lim n → ∞ ⁡ x n + 1 lim n → ∞ ⁡ x n + lim n → ∞ ⁡ x n + 1

Chamando todos esses limites de L:

L = L 2 2 L

L 2 = 2 L 2

L = 0

Beleuza.

Resposta

A sequência é convergente porque é monótona (sempre decrescente) e limitada superior e inferiormente.

L = 0

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2014 - 1b

Verifique se existe lim n → ∞ ⁡ a n

a n = 1 n ∙ 3.6 . 9.12 … 3 n 1.4 . 7.10 … ( 3 n - 2 )  

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Passo 1

Bem bem, percebe que ele pede pra verificar se o limite existe, não necessariamente calcular ele.

A outra alternativa é ver se esse termo é decrescente e se ele é limitado inferiormente, isso garante que o limite existe.

Se for crescente e for limitado inferiormente o limite não vai existir.

Passo 2

Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar:

a n + 1 a n

Vai ser:

1 n + 1 3.6 . 9.12 … 3 n . 3 n + 1 1.4 . 7.10 … 3 n - 2 3 n + 1 - 2 . n . 1.4 . 7.10 … 3 n - 2 3.6 . 9.12 … 3 n

1 n + 1 3.6 . 9.12 … 3 n . 3 n + 3 1.4 . 7.10 … 3 n - 2 3 n + 3 - 2 . n . 1.4 . 7.10 … 3 n - 2 3.6 . 9.12 … 3 n