Introdução às Séries

Teoria Completa

Introdução

Lembra que uma sequência é um conjunto sequenciado de valores? Aqui vai um exemplo de sequência dos números pares é:

a n = 2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   … ,   2 n

Agora e se quisermos somar esses termos?

s n = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2 n

Essa soma s n é chamada de série dos termos da sequência a n !

Você: “AH! Então a série é uma soma?”

SIM! E sua representação é usando o símbolo:

E o chamamos de: Somatório!

Podemos representar a soma dos 4 primeiros termos, ou seja, de n = 1 até n = 4 , dessa forma agora:

∑ n = 1 4 2 n = 2 + 4 + 6 + 8

Aqui temos algumas nomenclaturas importantes: 2 n é o termo geral a n as série; n = 1 é o primeiro valor a ser colocado na soma 2 ⋅ 1 = 2 ; e n = 4 é a informação do último valor a ser somado 2 ⋅ 4 = 8 .

Séries finitas e infinitas:

Uma série pode ser finita, como a do exemplo anterior, ou pode ser infinita (representando uma soma de infinitos termos):

∑ n = 1 ∞ 2 n = 2 + 4 + 8 + 16 + …

Você: “Añ?! Soma de infinitos termos? Mas isso não dá infinito não?”

Então, em alguns casos sim (como o de cima), mas em outros... Fiquem pasmos: não! Por exemplo, essa série aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + …

Repara que quanto maior o n , menor é o valor da série. Até aqui ok, né? Mas como a gente faz para calcular esse valor.

Vejamos isso melhor!

Calculando Séries

Exemplo: Calcule a soma da série abaixo.

S =   ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 2 )

Para calcular o valor de algumas séries doidonas, vamos ter que fazer algumas manipulações algébricas ou por inspeção dos termos! Venha comigo então!

Vamos ver agora a soma parcial (a soma apenas de alguns termos i = 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   n ):

S n = ∑ i = 1 n 1 i ( i + 2 )

Poxa, se fizermos o n indo para o infinito o S n vira o S :

S =   lim n → ∞ ⁡ S n

Vamos antes abrir em frações parciais:

1 i i + 2 = A i + B i + 2

Tirando o “MMC” dessas duas frações no lado esquerdo:

1 i i + 2 = A i + 2 + B i i i + 2    

Então:

A i + 2 A + B i = 1

Colocando o i em evidência:

i A + B + 2 A = 1

Como no lado esquerdo temos apenas 1 (constante) temos que:

A + B = 0 2 A = 1

De onde tiramos que A = 1 2 e B = - 1 2 , então...

1 i i + 2 = 1 2 ⋅ 1 i - 1 2 ⋅ B i + 2 =

1 2 1 i - 1 i + 2

Então podemos escrever a série da seguinte forma:

S n = ∑ i = 1 n 1 i ( i + 2 ) = 1 2 ∑ i = 1 n 1 i - 1 i + 2 =

Desmembrando essa série em n termos teremos...

1 2 1 - 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 + 1 4 - 1 6 + … + 1 n - 1 n + 2 =

Repara que alguns termos vão se cancelando, seguindo uma lógica. Por exemplo, o - 1 / 3 (segundo número da série) cancela com o + 1 / 3 (quinto número da série). Mas alguns números não ser cancelados!

Repara que o valor de denominador sempre aumenta, então o primeiro e o terceiro número no começo da série não vão ser cancelados, pois não irá aparecer nenhum - 1 , nem - 1 / 2 . O mesmo vai acontecer na outra ponta da série, o ultimo e antepenúltimo não vão ser cancelados.

Todos os do meio em negrito, vão ser cancelados um a um (verifique!). Então:

S n = 1 2 1 + 1 2 - 1 n + 1 - 1 n + 2

Assim, tomando o limite, temos:

S =   lim n → ∞ ⁡ 1 2 1 + 1 2 - 1 n + 1 - 1 n + 2 = 1 2 1 + 1 2 = 3 4

Repara que como o n →   ∞ , os termos 1 n + 1 e 1 n + 2 , vão tender a zero.

Com esse exemplo, vimos que é muito útil essa técnica e que ela pode ser utilizada em várias séries. Pelo menos nas que você consegue cancelar termos.

Convergência e Divergência

Agora vou introduzir outro conceito para vocês!

Quando a o valor da série vai para o infinito, a gente diz que a série é divergente. No caso da série:

∑ n = 1 ∞ 2 n = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …

Não tem como dessa soma ir para um valor, já que estamos sempre acrescentando termos cada vez maiores, certo? Então essa série diverge. Uma forma de dizer isso de uma forma mais “matematicamente” aceita é assim:

lim n → ∞ ⁡ ∑ n = 1 ∞ 2 n = ∞

Em outros casos, como o do segundo exemplo:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + …

A série tende a um valor real! Veja a soma dos 6 primeiros termos:

Agora compara com a soma dos 8 primeiros:

Percebe? Apenas com 8 termos já estamos próximos de 1 ! Se você continuar somando indefinidamente vai se aproximar cada vez mais de 1 . Nesses casos a série se diz ser convergente! Uma forma de denotar isso é através do limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1

Em muitos casos, não será possível saber de forma fácil qual será o valor desse limite, mas por sorte não é o nosso foco! O nosso foco será saber se a série diverge ou converge (independente para qual valor ela converge). Mais a frente na matéria, vamos ver juntos vários testes que vão nos dizer isso, ok? Então não se preocupe agora!

Propriedades de uma série

Então, já sabemos o que é uma série convergente né? Sabe o porquê dessas séries serem tão maneiras? É porque nelas são válidas as seguintes propriedades:

∑ n = 0 ∞ c a n = c ∑ n = 0 ∞ a n

∑ n = 0 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 0 ∞ a n + ∑ n = 0 ∞ b n

Ou seja, quando temos uma constante multiplicando uma série, podemos jogar a constante para fora. A segunda propriedade nos diz que se o termo geral de uma série é a soma de outros dois termos gerais, a gente pode separar a série como a soma de outras duas séries!

Mas atenção! Isso só é válido para séries convergentes, heim!

Exemplo:

∑ n = 1 ∞ 5 1 n 3 + 1 n 2 = 5 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Você : “AH! Mas como posso garantir que essas séries são convergentes?”

Infelizmente por enquanto você não pode, mas já já vai poder. Por hora, pode confiar na minha palavra, essas duas séries convergem !

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP - Cálculo 3 - P2 2011.1 Tozoni - 4b

Calcule a soma da série:

∑ k = 1 ∞ 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1

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Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer aqui é analisar essa série. Para isso, vamos tentar dar uma arrumada para ver se conseguimos achar a soma parcial da série ( S n ) e depois fazer o limite dessa soma parcial quando n → ∞ , uma vez que o somatório vai para infinito.

O termo geral dela vai ser

a k = 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1

Lembrando das propriedades de logaritmo, temos que

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Então:

ln ⁡ k 5 k + 1 = ln ⁡ k 5 - ln ⁡ k + 1

Pela regra do “peteleco”:

ln ⁡ k 5 = 5 ln ⁡ k

Assim ficou:

a k = 5 - k + 1 ln ⁡ k 5 k + 1 = 5 - k + 1 5 ln ⁡ k - ln ⁡ k + 1

a k = 5 ln ⁡ k 5 k + 1 - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

a k = ln ⁡ k 5 k - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

Passo 2

Agora que demos uma arrumadinha no termo geral vamos tentar fazer a soma parcial.

S n = ∑ k = 1 n ln ⁡ k 5 k - ln ⁡ k + 1 5 k + 1

Abrindo isso temos

S n = ln ⁡ 1 5 1 - ln ⁡ 2 5 2 + ln ⁡ 2 5 2 - ln ⁡ 3 5 3 + ln ⁡ 3 5 3 - ln ⁡ 4 5 4 + … + ln ⁡ n 5 n - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Repara que está aparecendo caras iguais nessa soma, um sendo positivo e outro sendo negativo. Assim, vai sobrar só o primeiro termo e o último.

S n = ln ⁡ 1 5 1 - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Como ln ⁡ 1 = 0 temos

S n = - ln ⁡ n + 1 5 n + 1

Agora que achamos a soma parcial e o somatório vai até infinito, é só fazer o seu limite quando n → ∞

Passo 3

Vamos ao limite

S = lim n → ∞ ⁡ S n = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n + 1 5 n + 1 = - ∞ ∞

Como o numerador e o denominador tendem ao infinito, podemos aplicar L’Hospital:

S = lim n → ∞ ⁡ - ln ⁡ n + 1 5 n + 1 = - lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ' 5 n + 1 ' = - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ln ⁡ 5 ∙ 5 n + 1

S = - lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 ln ⁡ 5 ∙ 5 n + 1 = - 1 ∞ = 0

Curiosamente a soma dos termos da série da 0 .

Sacou? O melhor a fazer é ir com calma e tentar ver algo no termo da série, abrir ela e ver se encontra algum padrão, como fizemos nesse exercício!

Resposta

S = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Temos a seguinte série

∑ n = 0 ∞ a n + b n

Sabendo que a n diverge e b n diverge, o que podemos falar dessa soma

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Passo 1

Então, galerinha, quando temos uma soma de séries convergente, a soma também converge. Mas aqui nós temos uma soma de séries divergentes.

Neste caso, não podemos falar absolutamente nada. Essa soma pode tanto convergir quanto divergir.

Vamos ver um exemplo de cada situação

Passo 2

Se

a n = 1 n

b n = - 1 n

A primeira série, a n , é uma série muito famosa chamada série harmônica. Vamos ver ela com mais calma daqui a alguns tópicos. Por enquanto, acredite em mim: essa série diverge.

A segunda série é - 1 vezes a série harmônica. E multiplicando qualquer número, a série continua com o mesmo comportamento.

A soma vai ser

a n + b n = 1 n - 1 n = 0

Po, somar infinitos 0 vai dar 0 ne? Então ela converge.

Passo 3

Agora, se

a n = 2 n

b n = - 1 n

De novo, as duas séries divergem. Só que a nossa soma ficará

a n + b n = 2 n - 1 n = 1 n

Opa, voltamos para a série harmônica, então ela diverge.

Pronto, vimos duas situações que a série pode ou não divergir, então nada pode dizer dessa parada.

Esse exercício serve para ficar atento a isso, as duas séries precisam convergir para usar a soma das séries.

Resposta

Não podemos afirmar nada

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Sabendo que as séries

∑ n = 0 ∞ a n

E

∑ n = 0 ∞ b n

Convergem para 3 e 4 respectivamente, determine para que valor a série abaixo converge

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n

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Passo 1

Então, galerinha, multiplicar por algum número e somar séries convergentes, vai gerar séries convergente. Então, podemos separar essa série em vários pedaços

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n = ∑ n = 0 ∞ 6 a n - ∑ n = 0 ∞ 13 b n

Tirando a constante do somatório, ficamos com

∑ n = 0 ∞ 6 a n - 13 b n = 6 ∑ n = 0 ∞ a n - 13 ∑ n = 0 ∞ b n