Teste da Comparação no Limite

Teoria Completa

Introdução

No teste da comparação, vimos que podemos comparar duas séries que se parecem para determinar se a série desconhecida converge ou não. Nele vimos dois exemplos interessantes:

∑ n = 0 ∞ 1 n - 2         &           ∑ n = 0 ∞ 1 n + 2

O primeiro, conseguimos fazer numa boa comparando com a série harmônica:

∑ n = 0 ∞ 1 n

Já que

1 n - 2 > 1 n                     ( v e r d a d e   p o i s   n > n - 2 )

Então, pelo teste da comparação, se a série que é menor (a harmônica nesse caso), diverge então com certeza a série maior é divergente também. Agora e quanto a esse segundo caso?

∑ n = 0 ∞ 1 n + 2

Não podemos usar o teste da comparação, já que:

1 n + 2 < 1 n

Ou seja, a série que sabemos ser divergente está por cima. Então nada podemos falar da série que está por baixo.

Mas já sabemos que ela diverge como vimos no capítulo passado. Supondo que não soubéssemos, poderíamos ainda desconfiar, pois no infinito o 2 se torna desprezível perto de n o que faz a série se parecer com a série harmônica:

∑ n = 0 ∞ 1 n

São nesses casos em que você desconfia que ela se pareça com uma série conhecida, mas não pode usar o teste da comparação normal que você utiliza o critério de comparação no limite.

Teste da comparação no limite ou Critério da comparação no limite

Temos que ter duas coisinhas como no teste normal: a série que queremos testar

∑ n = 0 ∞ 1 n + 2

E a série de teste conhecida. Nesse caso a série harmônica:

∑ n = 0 ∞ 1 n

Como o próprio nome diz, vamos comparar duas séries só que no limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 1 n

Repare que colocamos o termo geral de que está sendo testada em cima e o termo geral da de teste em baixo. Agora resolveremos o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 2 1 n = lim n → ∞ ⁡ n n + 2 =

Dividindo todo mundo por n :

lim n → ∞ ⁡ n n n n + 2 n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 n = 1

Como o limite foi igual a 1 que com certeza é diferente de 0 : isso só pode significar que a série sendo testada tem o mesmo comportamento da série usada de teste:

∑ n = 0 ∞ 1 n         →           D i v e r g e e n t ã o ∑ n = 0 ∞ 1 n + 2         →           D i v e r g e  

Podemos então resumir esse teste da seguinte maneira:

“Sejam duas séries de termos positivos ∑ a n e ∑ b n , se lim n → ∞ ⁡ a n b n = C > 0 (onde C é um número), então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem.”

E sabe o melhor de tudo?! Não importa quem você escolhe como a n ou b n , isso não afetará no resultado que queremos. Se C > 0 para um, será maior que zero para o outro também!

Vejamos mais esse exemplo aqui: estude a convergência da série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 - 2

Antes de tudo: você acha que essa série converge ou não? Se você reparar, essa série tem muita semelhança com a p-série de p = 2 , que converge:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Ainda, no infinito as duas são muito similares já que o - 2 se torna desprezível perto de n 2 . Então de fato SIM! Podemos desconfiar sobre a semelhança dessas séries.

Mas será que ela também converge? Não podemos responder a essa pergunta pelo Teste da comparação convencional, porque essa série é maior do que uma série que converge, já que:

n 2 - 2 < n 2

Para casos como esse o que a gente faz? Nós usamos o Teste da comparação no limite: tomemos o a n como sendo os termos da série que queremos saber:

a n = 1 n 2 - 2

Agora o b n o da série que já sabemos:

b n = 1 n 2

Logo...

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 - 2 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 - 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 n 2 n 2 - 2 n 2 =

lim n → ∞ ⁡ 1 1 - 2 n 2 = 1

1 é diferente de 0 logo, como a p-série converge, a série do problema também converge, como tínhamos previsto.

Agora fica a questão: quando usar a comparação e quando usar a comparação no limite? Em geral, tente usar o Teste da comparação, se ele estiver muito evidente, se a série for muito parecida com uma que você conhece. Mas se você não conseguir estabelecer a relação que você precisa (maior ou menor), tente fazer o limite.

Vejamos mais um exemplo e dessa vez um pouquinho mais complicado:

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 4 - n + 5

Essa série não é tão evidente se ela converge ou não nem mesmo se dá para usar ou não o teste da comparação. Então aqui vai um bizu: toda vez que a série for composta de “polinômios” como esta você vai usar comparação no limite! Agora, quem é a série que vamos usar para a comparação?

Podemos perceber que no infinito o 1 na frente de n + 1 é próximo de n enquanto que o termo da raiz é próximo de n 4 (o - n + 5 é cada vez mais desprezível perto desse termo). Então...

∑ n = 1 ∞ n + 1 n 4 - n + 5 ≈ ∑ n = 1 ∞ n n 4 =

∑ n = 1 ∞ n n 2 =

∑ n = 1 ∞ 1 n

Agora sim, encontramos uma série conhecida: a Série harmônica, que diverge. Mas por que fizemos isso? Simplesmente porque essa série apresenta os termos dominantes da série que queremos estudar e, portanto, deve ter a mesma convergência. Basta, então, você calcular lim n → ∞ ⁡ a n / b n e ver se encontra um número maior que zero.

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 4 - n + 5 × n

= lim n → ∞ ⁡ n 2 + n n 4 - n + 5 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 ( 1 + 1 / n ) n 2 1 - 1 / n 3 + 5 / n 4 =

= lim n → ∞ ⁡ ( 1 + 1 / n ) 1 - 1 / n 3 + 5 / n 4 = 1 > 0

Como encontramos C = 1 > 0 , a série do nosso problema tem a mesma convergência que a série com que a comparamos: ambas divergem.

Vamos fazer uns exercícios agora para praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1

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Passo 1

Como sempre, vamos analisar os índices de n para ter um palpite sobre a convergência da série. Temos, no denominador n 2 , porém, dentro de uma raiz. Então, em termos práticos, é como se tivéssemos apenas n no denominador, o que torna essa série muito semelhante com a Série harmônica, que diverge.

Porém, temos o seguinte:

n 2 + 1 > n 2

1 n 2 + 1 < 1 n 2 = 1 n

Como a série que estamos estudando possui termos menores que os da Série Harmônica, não conseguimos aplicar o Teste da comparação aqui. Vamos, então, tentar a comparação no limite.

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar a Série harmônica, que acabamos de mencionar:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 + 1 × n =

Colocando n 2 em evidência dentro da raiz vamos ter

= lim n → ∞ ⁡ n n 2 1 + 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n n 2 1 + 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n 2 =

Como, neste caso, estamos pegando n indo para ele vai ser sempre positivo, então

n 2 = n

Nosso limite vai ficar

= lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2 = 1 > 0

Assim, pelo Teste da comparação no limite, mostramos que essa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 672, exercício 21

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ n + 2 2 n 2 + n + 1

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Passo 1

Mais uma vez, vamos olhar os índices dominantes de n , tanto no numerador quanto no denominador. Em cima, temos n 1 / 2 , embaixo, n 2 . Fazendo o quociente, temos:

n 1 / 2 n 2 = n 1 / 2 - 2 = n - 3 / 2 = 1 n 3 / 2

Portanto, a série que queremos estudar é parecida com uma p-série de p = 3 / 2 > 1 (que converge), o que nos leva a pensar que ela deva convergir.

Porem, comparar essa série do problema com a p-série parece complicado, não é? Meio difícil estabelecer uma relação entre as duas para aplicar o Teste da comparação, ainda mais por causa da raiz. Vamos, então, tentar o Teste da comparação no limite.

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar a p-série que acabamos de mencionar:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 2 n 2 + n + 1 × n 3 / 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n 4 + 2 n 3 2 n 2 + n + 1 =

= lim n → ∞ ⁡ n 2 1 + 2 / n n 2 ( 2 + 1 / n + 1 / n 2 ) =

= lim n → ∞ ⁡   1 + 2 / n ( 2 + 1 / n + 1 / n 2 ) = 1 2     > 0

Como encontramos um número maior que zero, pelo Teste da comparação no limite, sabemos que ambas as séries convergem.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1

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Passo 1

Bom, de cara já vemos que essa série é muito parecida com a Série geométrica de r = 1 / 2 < 1 , que converge. Imaginamos, então que essa também deva convergir, mas qual teste aplicar para provar isso?

O primeiro que vem à nossa cabeça é o Teste da comparação, afinal as séries são muito parecidas. Podemos dizer, então, que

2 n - 1 < 2 n

Logo

1 2 n - 1 > 1 2 n

Encontramos um problema. O que o Teste da comparação diz a respeito de séries com termos maiores do que os de séries que convergem? Nada! Esse teste então não vai nos ajudar aqui. Porém, como esse termo - 1 parece não interferir na convergência da série (quando n tende a infinito), vamos tentar usar o Teste da comparação no limite.

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar própria Série geométrica que acabamos de ver :

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

Assim:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n - 1 × 2 n =

= lim n → ∞ ⁡ 2 n 2 n ( 1 - 1 / 2 n ) =

= lim n → ∞ ⁡ 1 ( 1 - 1 / 2 n ) = 1 > 0

Assim, pelo Teste da comparação no limite, a série do problema converge.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 4 - P1 2013 - 3b

Determine para quais valores de p > 0 a série:

∑ n = 1 ∞ ( n p + 1 - n p )  

É convergente e para quais é divergente.

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Passo 1

Esse termo é meio ruim de ficar usando, vamos tentar dar uma arrumada antes de fazer qualquer coisa, para isso vamos fazer a multiplicação por um conjugado.

∑ n = 1 ∞ ( n p + 1 - n p ) n p + 1 + n p n p + 1 + n p = ∑ n = 1 ∞ n p + 1 - n p n p + 1 + n p = ∑ n = 1 ∞ 1 n p + 1 + n p  

Agora vamos ter

a n = 1 n p + 1 + n p

Passo 2

A primeira coisa que teríamos que olhar nessa conta seria se o limite do termo geral vai para 0 , mas não vamos fazer isso. Por que? Repara que temos um polinômio no denominador e um no numerador nesse termo geral.

Por mais estranho que seja, no denominador temos um polinômio de grau p / 2 , e no numerador temos um polinômio de grau 0 .

Então vamos usar o teste da comparação no limite.

Vamos comparar com a série

∑ n = 1 ∞ 1 n p / 2

Assim vamos ter

b n = 1 n p / 2

Usando o teste de comparação no limite,

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n p + 1 + n p 1 n p / 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 n p + 1 + n p ∙ n p / 2 1 = lim n → ∞ ⁡ n p / 2 n p + 1 + n p