Teste da Comparação

Teoria Completa

Introdução

Vamos ver agora mais um teste para as series. Pelo título acho que você já sabe o nome desse teste aqui: Comparação. E não se preocupe porque você vai entender o porquê desse nome, venha comigo!

Teste da comparação ou Critério da Comparação: Identificação

Você deve estar se perguntando: quando é que vou saber que necessariamente terei que usar esse teste e não os outros?

Vamos ver um exemplo para ilustrar o motivo do uso do teste: digamos que o problema peça que você diga se essa série converge ou não:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2

Bom, só de olhar, já vemos que esse termo a n tende para zero, não é? Com n → ∞ , o denominador vai tender a infinito e a razão vai tender para zero. Então, aqui o Teste da Divergência não vai ajudar.

Certo, mas o fato de a n tender a zero não significa que a série converge, temos que analisar melhor. Se você reparar, essa série tem certa semelhança com a Série Geométrica:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n

Mas atenção: você não pode dizer que ela é uma série geométrica pelo fato de ter esse 2 somando. Ela só se parece! Ok? E essa semelhança é o principal motivo de se usar esse teste!

Teste da comparação ou Critério da Comparação: Resolução

Para resolver, vamos com calma: a geométrica que estamos usando para teste...

∑ n = 0 ∞ 1 2 n

Converge, pois tem r = 1 / 2 < 1 ! A grande pergunta é: será que a série do problema também converge?

A gente pode desconfiar que sim, neh? Já que a única diferença é que tem um 2 somando. Para provar isso, podemos tentar comparar esses dois termos aqui da seguinte forma:

1 2 n + 2 < 1 2 n

VOCÊ: “AH! Mas de onde tiramos esse sinal de < . Porque não o de >

Na verdade eu “chutei”. Você pode chutar qualquer um dos dois sinais o importante é você verificar se é verdade ou não! Sabe como você pode verificar isso? Multiplicando cruzado:

1 2 n + 2 < 1 2 n             →               2 n < 2 n + 2

Isso é verdade? É! Já que com esse 2 a mais não tem como de ser menor! Mas e se não fosse verdade? Aí significaria que chutamos o sinal errado, ou seja, ao invés de:

1 2 n + 2 < 1 2 n

Seria

1 2 n + 2 > 1 2 n

Saca?

Beleza, sabemos então que:

1 2 n + 2 < 1 2 n

E isso implica no seguinte:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2 < ∑ n = 0 ∞ 1 2 n

Agora pensamos da seguinte forma: se a série que está em cima (a série que é maior) converge com certeza, é muito justo pensarmos que a série que está em baixo (a série menor que queremos saber), convirja! E de fato é isso que acontece pelo teste da comparação:

Supondo duas séries de termos positivos ∑ a n e ∑ b n

s e   a n ≤ b n   e   b n   c o n v e r g e ,   e n t ã o   a n t a m b é m   c o n v e r g e   s e   a n ≥ b n   e   b n   d i v e r g e ,   e n t ã o   a n t a m b é m   d i v e r g e              

Confuso? Deixa eu te explicar. O teste fala assim: se a série que a gente quer conhecer for menor do que outra série que sabemos que é convergente, então a série desconhecida é convergente (exatamente como no problema exemplar).

Da mesma forma, se a série desconhecida for maior do que uma série que sabemos que diverge, então a desconhecida também divergirá! Veja o exemplo:

∑ n = 0 ∞ 1 n - 2

Essa série se parece com a série harmônica:

∑ n = 0 ∞ 1 n

Que sabemos que diverge! Então não será surpreendente se a série que queremos saber divergir também, neh? Vamos verificar pelo teste da comparação, comparando os termos:

1 n - 2 > 1 n

Perceba que eu chutei esse sinal, mas é justamente o que queremos: que a série que não sabemos seja maior que uma série divergente conhecida. Mas na prática você pode chutar qualquer sinal desde que você avalie se é verdade ou não multiplicando cruzada neh:

n > n - 2

O que é verdade! Logo:

∑ n = 0 ∞ 1 n - 2 > ∑ n = 0 ∞ 1 n

Como a série que está “por baixo” (depois do sinal de menor), diverge, é bem plausível que a série que está acima dela diverge para o infinito também pelo teste da comparação!

Principal fonte de erro ao se aplicar o teste da comparação

Agora cuidado! O teste não afirma nada a respeito de séries maiores do que séries que convergem ou menores do que séries que divergem, nesses casos não podemos afirmar nada sobre a convergência e aí temos que procurar outro método.

Exemplo:

∑ n = 0 ∞ 1 n + 2

Já que

1 n + 2 < 1 n

Nesse caso não dá pra saber mesmo pelo teste da comparação! Saca? Afinal a série que será “abaixo” da série divergente, pode divergir, mas também pode convergir.

RELAXA: Nos próximos capítulos vamos saber contornar esse problema e ver como resolver qualquer série que recaia sobre esse mesmo problema.

Mas aqui, a título de curiosidade, podemos ver que essa série de fato diverge fazendo uma mudança de variável: podemos falar que n + 2 = m :

∑ n = 0 ∞ 1 n + 2 = ∑ m - 2 = 0 ∞ 1 m =

∑ m = 2 ∞ 1 m

Está é a série harmônica, só que começando de 2 . Logo ela diverge ;)

Séries mais comuns para usar na comparação

É claro que, para aplicar o Teste da Comparação, você precisa ter algumas séries de convergência conhecida em mente. As principais que você vai usar são as seguintes:

  • Série Geométrica ( ∑ r n converge com r < 1 )
  • Série Harmônica ( ∑ 1 / n diverge)
  • p-séries ( ∑ 1 / n p converge para p > 1 )

Exemplo: Estude a convergência de

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n

Passo 1: Já logo percebemos, pelo formato da série, que seu termo geral tende para zero, ou seja, o Teste da Divergência não se aplica aqui.

Antes de fazer o Teste da Comparação, você precisa ter uma ideia, uma intuição, a respeito da convergência da série, para saber por onde começar: no infinito é um pouco intuitivo que n 2 + n tende mais a se parecer com n 2 , neh? O que sugere que essa série vai ter um comportamento parecido com essa série aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Logo, dá para desconfiar que nossa série convirja!

Passo 2: Certo, agora precisamos provar isso:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Como:

n 2 + n ≥ n 2

Podemos dizer que:

1 n 2 + n ≤ 1 n 2

Logo:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Pelo Teste da comparação, como a p-série de p = 2 > 1 converge, a série do problema também converge!

Eu sei! Precisamos de muito “achismos” nesse capítulo. Mas não se preocupe, pois com treino você vai ficando mais sagaz. Bora para os exercícios então?

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 672, exercício 3

Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n + 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pelo formato da série, já vemos que o termo geral a n tende a zero quando n tende a infinito, logo, o Teste da Divergência não será útil aqui.

Vamos, então, tentar o Teste da comparação e, para isso, precisamos de um palpite sobre a convergência dessa série. Como o denominador cresce muito rápido, parece que o termo geral tende a zero rapidamente, o que nos leva a pensar que a série converge.

Passo 2

Certo, então precisamos encontrar uma série de termos maiores que a do problema que convirja. Podemos usar a p - série de p = 2 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Essa série é convergente!

Passo 3

Como

n 2 + n + 1 > n 2

Sabemos que

1 n 2 + n + 1 < 1 n 2

Então confirmamos que a série escolhida é maior que a do problema! E prontinho! Pelo Teste da Comparação, a série do problema converge já que 1 n 2 também converge! Feshow.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 669, exemplo 2

Teste a série

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Quanto a convergência ou divergência.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como o termo geral da série tende para zero, o Teste da divergência não nos ajuda aqui, vamos tentar usar o da comparação. Antes, precisamos ter uma ideia sobre a convergência.

Essa série se parece bastante com a harmônica

∑ n = 1 ∞ 1 n

Então, parece que essa série tende a divergir também. É isso que tentaremos provar!

Passo 2

Precisamos, então, mostrar que a série do problema tem termos maiores dos que os de uma série que diverge. Aqui, temos um detalhe interessante, perceba que podemos dizer o seguinte:

ln ⁡ n n ≥ 1 n

Mas para todos os valores? Não, apenas quando

ln ⁡ n ≥ 1

Ou seja,

n ≥ e 1

Como o valor de e é não inteiro e maior que 2 , podemos afirmar que a relação acima vale para n ≥ 3 . Mas podemos fazer esse tipo de restrição para aplicar o Teste da comparação? Sim, pois o que importa para o teste é a tendência das séries do infinito, pois é assim que analisamos a convergência.

Então, como a partir de n = 3 , a série do problema tem termos maiores que os da Série harmônica, pelo Teste da comparação, podemos dizer que ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 672, exercício 7

Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 9 n 3 + 10 n

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Passo 1

Como o termo geral da série tende para zero, sabemos que o Teste da divergência não é útil aqui. Já que a expressão de a n é relativamente simples, parece uma boa tentar aplicar o Teste da comparação.

Antes de tudo, precisamos ter uma ideia sobre a convergência da série, para saber com o que comparar.

Essa série se parece com uma série geométrica de r = 9 10 , não é? O termo geral parece que tende rápido para zero, como na geométrica, então, imaginamos que essa série convirja.

Passo 2

Vamos, então, comparar essa série com a geométrica que acabamos de mencionar

∑ n = 1 ∞ 9 10 n = ∑ n = 1 ∞ 9 n 10 n

Como temos r = 9 10 < 1 , sabemos que essa série converge. Certo, agora vamos comparar as duas séries. Sabemos que

3 + 10 n > 10 n

Portanto, podemos dizer que

9 n 3 + 10 n < 9 n 10 n

Como os termos da série do problema são menores que os de uma série que converge, pelo Teste da comparação, sabemos que essa série converge.

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 - 1d

Diga se a série abaixo converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ sen ⁡ n 2 n 2 + 2

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Passo 1

A ideia aqui é utilizar o teste da comparação pra dizer se a série converge ou diverge.

Só que tem um detalhe, a nossa série tem termos negativos e esse teste só é válido para séries de termos positivos. O que a gente faz nesse caso?

Vou te passar uma dica muito boa:

Se ∑ | a n | for convergente, então ∑ a n também é convergente.

Então, se eu puder verificar que o módulo dessa série converge, então a série vai convergir.

Repare que podemos dizer que:

0 ≤ sen ⁡ n 2 n 2 + 2

Como 0 ≤ sen ⁡ n 2 ≤ 1 e ( n 2 + 2 ) é sempre positivo, seja qual for o valor de n , podemos afirmar que:

sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2 + 2

Visto que n 2 + 2 > 0 e sen ⁡ n 2 ≤ 1 .

E repare que também podemos dizer que:

1 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

Então, pelo teste da comparação, temos:

0 ≤ sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

Passo 2

Então, concluímos que, como:

sen ⁡ n 2 n 2 + 2 ≤ 1 n 2

E 1 n 2 converge, a série converge absolutamente!! Então a série converge!

Resposta

A série converge.

Exercício Resolvido #5

UFRJ - Cálculo 4 - P1 2012.1 - 2b

Estude a natureza das séries abaixo:

∑ n = 1 ∞ n + 1 - n - 1 n + 2

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Passo 1

Oi, galerinha, antes de começar a estudar essa série, eu proponho uma coisinha! É um pouco complicado aplicar o Teste da comparação quando temos muitos termos no numerador, então minha proposta é dar uma mexida na cara dessa função.

Lembra daquele produto notável a + b a - b = a 2 - b 2 ? Usando essa ideia, se a gente multiplicar o numerador por n + 1 + n - 1 conseguimos nos livrar da raiz. Fica assim, olha:

n + 1 - n - 1 n + 2 = ( n + 1 - n - 1 ) n + 2 × n + 1 + n - 1 n + 1 + n - 1 =

= n + 1 2 - n - 1 2 n + 2 n + 1 + n - 1 =

= 2 n + 2 n + 1 + n - 1

Certo, conseguimos nos livrar das raízes no numerador, mas e agora?

Passo 2

Agora vamos escolher uma série parecida que a gente saiba a convergência para descobrir se a nossa série converge ou diverge.

Eu acho mais simples pensar sem as raízes nos denominador. Deste modo, seria muito interessante se tivéssemos n + 2 n + 2 + n + 2 no denominador, pois as raízes iriam sumir. Repara,

2 n + 2 n + 2 + n + 2 = 2 n + 2 + n + 2 = 1 n + 2

Quando fizemos isso, chegamos a uma série que diverge. Se você ta se perguntando o por quê que ela diverge, dá uma olhada nesse truque, considerando m = n + 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n + 2 = ∑ m - 2 = 1 ∞ 1 m = ∑ m = 3 ∞ 1 m

Ou seja, a série 1 n + 2 diverge porque ela nada mais é do que a série harmônica, só que começando em 3 ! E a harmônica galera, diverge.

Ok, mas em que isso nos ajuda? Olha o seguinte:

2 n + 2 n + 1 + n - 1 > 2 n + 2 n + 2 + n + 2 = 1 n + 2

Ou seja, mostramos, por meio de muitas bruxarias, que a série do problema tem termos maiores que os de uma série que diverge, logo, ela também diverge.

Resposta

A série diverge.

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