Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Disco

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Enunciado

Um disco circular isolante e fino, de raio R , tem uma densidade superficial, de raio R , tem uma densidade superficial de carga dada por σ r = σ 0 R r , onde σ 0 é uma constante positiva e r é a distância ao centro do disco.

  1. Determine o vetor campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distância z do mesmo.

Sugestão: divida o disco em aneis infinitesimais concêntricos e use o resultado obtido em aula para o campo elétrico produzido por um anel uniformemente carregado (por que podemos fazer isto?).

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para calcular o vetor campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distância z do mesmo, ou seja:

Por conta da simetria do sistema, a componente do campo elétrico que sobrevive é proporcional ao cosseno do ângulo formado com o eixo z .

Dessa forma, temos:

d E z = d E cos ⁡ θ = z z 2 + r 2

Lembrando que o diferencial do campo elétrico é dado por:

d E = 1 4 π ϵ 0 d q d 2

Onde d é a distância entre um ponto infinitesimal do disco e o ponto z . E, fazendo Pitágoras, temos:

d 2 = r 2 + z 2

Assim, temos que juntar tudo e integrar!!

E aí? Bora lá??

😉

Passo 2

Assim, integrando o disco, temos:

E = ∫ 0 R 1 4 π ϵ 0 d q d 2 * z z 2 + r 2 ∴

Lembrando que d q = 2 π σ 0 R d r , temos:

E = ∫ 0 R 1 4 π ϵ 0 2 π σ 0 R d r r 2 + z 2 * z z 2 + r 2 ∴

E = 2 π σ 0 R z 4 π ϵ 0 ∫ 0 R d r r 2 + z 2 3 / 2

A questão nos diz que:

∫ d x x 2 + a 2 3 / 2 = x a 2 x 2 + a 2 + c

Assim, aplicando para nossa integral, temos:

E = σ 0 R z 2 ϵ 0 * r z 2 r 2 + z 2 R 0 ∴

E = σ 0 R z 2 ϵ 0 * R z 2 R 2 + z 2 ∴

E = σ 0 R 2 2 ϵ 0 z R 2 + z 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

E = σ 0 R 2 2 ϵ 0 z R 2 + z 2

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