Exercícios Resolvidos de Classificação de Formas Quadráticas

Elaboração própria

Classifique as formas quadráticas abaixo:

a f x , y = - 16 x 2 + 8 x y - y 2

b f x , y = 2 x 2 + 3 x y - y 2

c f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + 2 y z + z 2

Passo 1

a   Reescrevemos a função como:

f x , y = - 16 x 2 + 8 x y - y 2 = x y - 16 4 4 - 1 x y

Temos que:

- 16 4 4 - 1 = 16 - 16 = 0

t r - 16 4 4 - 1 = - 17

Como o determinante é zero, e o traço é negativo, a função é semi definida negativa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Reescrevemos a função como:

f x , y = 2 x 2 + 3 x y - y 2 = x y 2 3 2 3 2 - 1 x y

Temos que:

2 3 2 3 2 - 1 = - 2 - 9 4 = - 17 4

Como o determinante é negativo, a função é indefinida.

Passo 3

c   Reescrevemos a função como:

f x , y = 2 x 2 + y 2 + 2 y z + z 2 = x y z 2 0 0 0 1 1 0 1 1 x y z

Encontrando os autovalores:

p λ = 2 - λ 0 0 0 1 - λ 1 0 1 1 - λ = 2 - λ 1 - λ 2 - 2 - λ = 2 - λ 1 - λ 2 - 1

p λ = 0

2 - λ 1 - λ 2 - 1 = 0

2 - λ = 0 ⇒ λ = 2

1 - λ 2 - 1 = 0

1 - λ 2 = 1

λ = 2   o u   0

Logo, temos os autovalores 0 , 2 e 2 . Portanto, a função é semi definida positiva.

Resposta

a Semi definida negativa

b Indefinida

c Semi definida positiva

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas