Exercícios Resolvidos de Classificação de Formas Quadráticas

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Enunciado

Considere as afirmativas:

  1. Existe x ,   y ∈ R tal que 6 x 2 - 4 x y + 5 y 2 = - 9
  2. Existe x ,   y ∈ R tal que 5 x 2 - 14 x y + 3 y 2 = 8
  1. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  3. (I) é falsa e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Passo 1

Show de bolinhas meus amores, queremos classificar essas formas quadráticas pra saber a existência de sua solução. Só que a maior sagacidade de todas aqui, é que não precisamos descobrir os valores exatos de x ,   y .

Brinks, não vamos usar mágica dessa vez. O bizu aqui é que uma forma quadrática representa uma transformação linear no espaço, e determinadas transformações preservam direções e sentidos durante sua atuação, que é o caso de uma forma quadrática. Essas direções e sentidos preservados nos dizem como a transformação se comporta no espaço, isto é, os valores que a função assume, negativos ou positivos. E por pura coincidência do universo, essas direções e sentidos são os nossos conhecidíssimos autovetores e autovalores respectivamente.

Isso quer dizer que de acordo com os autovalores da função, negativos ou positivos, saberemos se a função assume valores negativos ou positivos.

Passo 2

Iradoso, na afirmativa (I) ele diz que   6 x 2 - 4 x y + 5 y 2 = - 9 possui solução, mas na verdade a gente quer saber se a forma quadrática 6 x 2 - 4 x y + 5 y 2 assume valores negativos como por exemplo - 9 .E pra classificar essa função a gente precisa decompor ela na forma de uma matriz. Saca só, para uma forma quadrática geral, do tipo:

f x = a x 2 + b x y + c y 2

Decompomos como:

a x 2 + b x y + c y 2 = x y a b 2 b 2 c x y

Logo para o nosso exemplo (I):

  6 x 2 - 4 x y + 5 y 2 = x y 6 - 4 2 - 4 2 5 x y

6 x 2 - 4 x y + 5 y 2 = x y 6 - 2 - 2 5 x y

Portanto a matriz 6 - 2 - 2 5 , representa a transformação que nossa função realiza no espaço.

E pra calcular os autovalores dessa matriz, temos que resolver o polinômio característicos:

det ⁡ 6 - 2 - 2 5 - λ 0 0 λ = 0

Tal que:

det ⁡ 6 - λ - 2 - 2 5 - λ = 0

6 - λ 5 - λ - - 2 - 2 = 0

Abrindo esse produto, temos:

30 - 5 λ - 6 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - 11 λ + 26 = 0

Então se a gente resolver essa equação segundo grau, encontraremos nossos autovalores.

Passo 3

Saca só, o delta dessa equação é:

Δ = 11 2 - 4 1 26

Δ = 121 - 104

Δ = 17

Logo, nossas soluções serão:

λ = 11 ± 17 2

Como 17 < 11 , temos que o denominador 11 ± 17 é estritamente positivo, tal que os dois autovalores sejam positivos:

λ 1 = 11 + 17 2 > 0 ,     λ 2 = 11 - 17 2 > 0

Se os todos os autovalores da função são estritamente positivos, quer dizer que a função assume apenas valores positivos:

f x ,   y > 0

Fazendo que seja impossível termos que:

  6 x 2 - 4 x y + 5 y 2 = - 9

f x ,   y = - 9

Logo, afirmativa (I) é falsa.

Passo 4

Agora na nossa afirmativa (II), temos:

5 x 2 - 14 x y + 3 y 2 = 8

Então devemos verificar dessa vez, se nossa função assume valores positivos como por exemplo 8 . E pra isso a gente pode repetir o processo da afirmativa (I). Tal que a decomposição dessa forma quadrática é:

5 x 2 - 14 x y + 3 y 2 = x y 6 - 14 2 - 14 2 3 x y

5 x 2 - 14 x y + 3 y 2 = x y 6 - 7 - 7 3 x y

Passo 5

Show de boletas, e montando nosso polinômio característico, temos que:

det ⁡ 6 - 7 - 7 3 - λ 0 0 λ = 0

det ⁡ 6 - λ - 7 - 7 3 - λ = 0

Abrindo esse determinante, obtemos:

6 - λ 3 - λ - - 7 - 7 = 0

18 - 3 λ - 6 λ + λ 2 - 49 = 0

λ 2 - 9 λ - 31 = 0

E resolvendo essa equação do segundo grau, temos que:

λ = 9 ± 9 2 - 4 1 - 31 2  

λ = 9 ± 81 + 124 2

λ = 9 ± 205 2

Só que 205 > 9 , tal que teremos um autovalor positivo e um negativo:

λ 1 = 9 + 205 2 > 0 ,     λ 2 = 9 - 205 2 < 0

Potanto, nossa função assume tanto valores negativos, quanto valores positivos como por exemplo f x ,   y = 8 , logo, nossa afirmativa (II) é verdadeira. Resposta certa, letra (d).

Resposta

Letra (d).

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