Exercícios Resolvidos de Classificação de Formas Quadráticas

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Enunciado

Seja fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O , B ) no espaço, com B uma

base ortonormal, e considere a quádrica de equação:

x 2   +   y 2   +   2 x y   +   4 x z   + 4 y z   +   3 x   -   y   +   z   +   1   =   0

. Sabendo-se que P - 1 A P   =   D , em que

temos que uma equação reduzida para essa quádrica é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é descobrir qual qual é a equação reduzida da quádrica

x 2   +   y 2   +   2 x y   +   4 x z   + 4 y z   +   3 x   -   y   +   z   +   1   =   0

Bora resolver essa questão!!!

A primeira coisa que precisamos fazer é escrever a equação da quádrica utilizando matrizes. Fazendo isso, a nossa equação fica

x 2   +   y 2   +   2 x y   +   4 x z   + 4 y z   +   3 x   -   y   +   z   +   1   =   0

⇒ ( x , y , z ) A ( x , y , z ) T + ( 3 , - 1,1 ) ( x , y , z ) T + 1 = 0

Passo 2

Agora, vamos fazer a seguinte transformação.

( x , y , z ) T = P ( u , v , w ) T

substituindo na nossa equação

( x , y , z ) A ( x , y , z ) T + ( 3 , - 1,1 ) ( x , y , z ) T + 1 = 0

temos:

( u , v , w ) P T A P ( u , v , w ) T + ( 3 , - 1,1 ) P ( u , v , w ) T + 1 = 0

Usando o fato que P - 1 A P   =   D , e que como P é ortogonal então P - 1 = P t . então

⇒ ( u , v , w ) D ( u , v , w ) T + ( 3 , - 1,1 ) P ( u , v , w ) T + 1 = 0

Lembrando que

Então, ao realizar esse produto. Temos.

4 u 2 - 2 v 2 + 3 u + 2 2 w + 1 = 0

Passo 3

Chegamos a conclusão que

4 u 2 - 2 v 2 + 3 u + 2 2 w + 1 = 0

é a equação reduzida da cônica

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

4 u 2 - 2 v 2 + 3 u + 2 2 w + 1 = 0

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