Exercícios Resolvidos de Classificação de Formas Quadráticas

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

I - A equação 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 1 =   0 não possui solução

II - A equação 3 x 2 - 4 x y + 3 y 2 + 5 =   0   não possui solução

(a) Ambas são verdadeiras

(b) Ambas são falsas

(c) I é verdadeira e I I é falsa

(d) I é falsa e   I I é verdadeira

Passo 1

Bom, vamos lá ver a primeira afirmativa, ela diz que 3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 1 =   0 não tem solução.

Para tentar visualizar isso melhor, vamos tentar reescrevê-la de forma mais clara:

3 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 1 =   0

3 ( x 2 - 2 x y + y 2 ) + 1 =   0

3 x - y 2 + 1 =   0

3 x - y 2 = - 1

O que é impossível pois 3 vezes um termo elevado ao quadrado deve ser sempre maior ou igual a zero! Logo essa afirmativa é verdadeira, essa equação é impossível.

Passo 2

Agora vamos para a segunda afirmativa:

3 x 2 - 4 x y + 3 y 2 + 5 =   0

Aqui não consigo achar o produto notável como consegui na primeira, mas posso fazer o seguinte:

x 2 + y 2 + 2 x 2 - 4 x y + 2 y 2 + 5 =   0

Agora é só fazer o mesmo:

x 2 + y 2 + 2 ( x 2 - 2 x y + y 2 ) + 5 = 0

x 2 + y 2 + 2 x - y 2 + 5 = 0

x 2 + y 2 + 2 x - y 2 = - 5

Caímos na mesma situação da primeira afirmativa. Temos uma soma de três termos ao quadrado dando um valor negativo, o que é impossível.

Assim, essa equação também não tem solução.

Resposta

a

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