Exercícios Resolvidos de Classificação de Formas Quadráticas

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Enunciado

Seja A uma matriz simétrica n × n e f x = x T A x a forma quadrática associada. Suponha que A não tenha autovalores nulos e que A possua pelo menos um autovalor positivo e um autovalor negativo. Então:

(a) Existem infinitos vetores x tais que f x = 0 .

(b) Para todo x não nulo, f x ≠ 0 .

(c) Dependendo de A, pode existir ou não um vetor x não nulo tal que f x = 0 .

(d) Para todo x não nulo, f x ≥ 0 .

Passo 1

A classificação das formas quadráticas pode ser feita através do sinal dos autovalores da matriz que está associada a ela.

No caso dessa questão, vamos olhar para os autovalores da matriz A.

Sabemos que ela tem autovalores positivos e negativos, mas nenhum autovalor nulo.

Logo, a forma quadrática é indefinida.

E se ela é indefinida, por definição, temos que f x = x T A x pode assumir valores positivos e negativos, e aí já eliminamos a alternativa (d), que diz que ela é sempre positiva.

Passo 2

Vamos pegar um exemplo qualquer de uma forma quadrática desse tipo.

Por exemplo, vamos considerar:

E a forma quadrática:

A matriz A é diagonal, então seus autovalores são os elementos da diagonal principal, que são 4 e -5.

Como tem autovalor positivo e negativo (e nenhum igual a zero), essa forma quadrática é indefinida.

Beleza, a expressão dela é:

f x , y = 4 x 2 - 5 y 2

Vamos tentar resolver f x = 0 :

4 x 2 - 5 y 2 = 0

4 x 2 = 5 y 2

2 x = 5 y

x y = 5 2

Ou seja, os vetores que zeram essa forma quádrica são do tipo:

x , y = 5 2 y , y = y 5 2 , 1

E existem infinitos vetores dessa forma, então a resposta vai ser a letra (a)!

Resposta

(a) Existem infinitos vetores x tais que f x = 0 .

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