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Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço de fase

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Enunciado

Considerando a função de transferência do processo abaixo:

G s = 0 , 1 ( s + 1 ) ( s + 0 , 5 )

Projete um compensador de avanço de fase de modo que o overshoot máximo seja 10 % e o tempo de sedimentação para um critério de 2 % seja 2,0   s e g u n d o s .

Passo 1

O pimeiro passo para projetar o compensador é definir umpar depolos dominantes de malha fechada que atenda às necessidade requeridas. Para definir o polo dominante, precisamo de ζ e ω n :

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Podemos calcular ζ através da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Para um overshoot de máximo de 1 0 % , teremos:

ζ > 0,59

Fazer o projeto com o fator de amortecimento no limite é um pouco arriscado, visto que essas equações são aproximações e o resultado final pode variar um pouco. Sendo assim, vamos dar uma folguinha para o fator de amortecimento e usar:

ζ = 0,7

Para achar ω n utilizaremos a expressão para tempo de sedimentação com critério de 2 % :

T s 2 % = 4 ζ ω n = 2,0

ω n = 4 T s ζ = 4 2,0 * 0 , 7 = 2,86

O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Portanto:

s = - 2,0 ± 2,0 i

Passo 2

Vamos representar os polos da função de transferência em malha aberta e os polos dominantes no diagrama de lugar das raízes

Os polos da função de transferência estão representados com um “xis” vermelho. Os polos dominantes estão representados pelos pontos.

Agora precisamos determinar o polo e o zero do compensador que faça com que o os polos dominantes façam parte do lugar das raízes. Existem infinitas combinações para esse polo e zero. Sendo assim, vamos arbitrar um valor para o zero e calcular o polo depois a partir desse valor de arbitrado do zero.

Uma tática é colocar o zero sobre o eixo dos reais com o mesmo valor do polo dominante. Então vamos fazer isso, vamos assumir que o zero se encontra em - 1 . Vamos fazer usando essa tática então:

Passo 3

Devemos agora determinar o valor de p . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:

Para conseguir o ângulo θ 4 , precisamos calcular os ângulos θ 1 , θ 2 e θ 3 . Podemos calcular esses ângulos utilizando o arcotangente deles. Então vamos lá:

θ 1 = 180 º - tan - 1 ⁡ 2,0 1,5 ≅ 1 2 6 , 9 º

θ 2 = 180 - tan - 1 ⁡ 2 1 = 116,6 º

Como θ 3 está diretamente abaixo do polo dominante:

θ 3 = 90 º

A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 º , então:

θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 = - 180 ( 2 r + 1 )

Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros com ângulos positivos, então:

- 126,9 - 116,6   + 90 - θ 3 = - 180

θ 3 = 26,5 º

Sabendo o ângulo θ 4 é possível calcular a localização do polo:

tan ⁡ 2 6,5 º = 2 , 0 x

x ≅ 4,0

Como x é a distância do polo até - 2,0 , o polo se encontrará em - 6,0 .

Passo 4

Só resta então calcular o valor do ganho K .

Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:

  K C s G ( s ) = 1

K s + 2 s + 6   0,1 s + 1 s + 0,5 = 1

O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:

Obs: a figura não está representada em escala.

Dessa forma:

h 1 = 2,0 2 + 1,5 2 = 2,5

h 2 = 2,0 2 + 1,0 2 = 2,2

h 3 = 2,0

h 4 = 2,0 2 + 4,0 2 = 4,5

Portanto:

0,1 K h 3 h 1 h 2 h 4 = 1

Os zeros ficam no numerador e os polos no denominador:

K = h 1 h 2 h 4 0,1 h 3 = 123,75

Resposta

C s = 123,75 s + 2,0 s + 6,0