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Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço de fase

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Enunciado

Para um sistema realimentado, a função de transferência em malha aberta é:

G s = 1 s ( s + 20 ) ( s + 40 )

O sistema está operando com 20 % de overshoot e tempo de sendimentação para um critério de 2 % de 0,63 s e g u n d o s . Determine os polos dominantes e o polo, zerp e ganho do compensador para que o sistema diminua o tempo de acomodação pela metade mantendo-se o mesmo percentual de overshoot.

Passo 1

Para definir o polo dominante, precisamo de ζ e ω n :

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Podemos calcular ζ através da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Para um overshoot de 20 % , teremos:

ζ = 0,45

Para achar ω n utilizaremos a expressão para tempo de sedimentação com critério de 2 % :

T s 2 % = 4 ζ ω n = 0,63 2

ω n = 4 T s ζ = 4 0,315 * 0,45 = 28,22

O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Portanto:

s = - 12,69 ± 25,20   i

Passo 2

Vamos representar os polos da função de transferência em malha aberta e os polos dominantes no diagrama de lugar das raízes

Os polos da função de transferência estão representados com um “xis” vermelho. Os polos dominantes estão representados pelos pontos.

Agora precisamos determinar o polo e o zero do compensador que faça com que o os polos dominantes façam parte do lugar das raízes. Existem infinitas combinações para esse polo e zero. Sendo assim, vamos arbitrar um valor para o zero e calcular o polo depois a partir desse valor de arbitrado do zero.

Uma tática é colocar o zero sobre o eixo dos reais com o mesmo valor do polo dominante. Então vamos fazer isso, vamos assumir que o zero se encontra em - 1 . Outra tática é colocar o zero no mesmo lugar que algum polo do processo de forma que o zero e o polo se cancelem. Vamos adotar essa estratégia e colocar o zero em - 20 . O polo e zero irão se cancelar e vamos ficar com a seguinte situação:

Passo 3

Devemos agora determinar o valor de p . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:

Para conseguir o ângulo θ 3 , precisamos calcular os ângulos θ 1 e θ 2 . Podemos calcular esses dois ângulos utilizando o arcotangente deles. Então vamos lá:

θ 1 = 180 º - tan - 1 ⁡ 25,20 12,69 ≅ 116,7 º

θ 2 = tan - 1 ⁡ 25,20 40 - 12,69 = 42,7 º

A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 º , então:

θ 1 + θ 2 + θ 3 = - 180 ( 2 r + 1 )

Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros com ângulos positivos, então:

- 116,7 - 42,7 - θ 3 = - 180

θ 3 = 20,6 º

Sabendo o ângulo θ 3 é possível calcular a localização do polo:

tan ⁡ 20,6 º = 25,20 x

x ≅ 67,04

Como x é a distância do polo até - 12,69 , o polo se encontrará em - 79,73 .

Passo 4

Só resta então calcular o valor do ganho K .

Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:

  K C s G ( s ) = 1

O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:

Obs: a figura não está representada em escala.

Dessa forma:

h 1 = 25,20 2 + 12,69 2 = 28,21

h 2 = 25,20 2 + 27,31 2 = 37,16

h 3 = 25,20 2 + 67,04 2 = 71,62

Portanto:

K h 1 h 2 h 3 = 1

K = h 1 h 2 h 3 = 75078

Resposta

Polos dominantes:

s =   - 12,69 ± 25,20

Função de transferência do compensador:

C s = 75078 s + 20 s + 79,73