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Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço de fase

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Enunciado

Um sistema com realimentação untária e a seguinte função de transferência abaixo está operando com 15 % de overshoot.

G s = 1 s ( s + 7 )

  1. Calcule o tempo de acomodação para um critério de 2 %
  2. Projete um compensador de avanço de fase para reduzir o tempo por um fator de 3 . Escolha o zero do compensador em - 10 .

Passo 1

Para calular o tempo de acomodação para um critério de 2 % usaremos a seguinte fórmula:

T s 2 % = 4 ζ ω n

Precisamos então determinar ζ e ω n .

ζ pode ser obtido através da fórmula do overshoot. Como nós sabemos que o overshoot é 15 % conseguimos determinar o fator de amortecimento então:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

ζ = 0,52

A frequência crítica ω n é possível determinar através da função de transferência. Numa função de transferência de segunda ordem, a constante que multiplica o fator s é igual a 2 ζ ω n . Portanto:

G s = 1 s ( s + 7 ) = 1 s 2 + 7 s

2 ζ ω n = 7

ω n = 7 2 ζ = 7 2 * 0,52 = 6,73

Portanto, o tempo de sedimentação será:

T s 2 % = 4 ζ ω n = 4 0,52 * 6,73 = 1,14   s e g

Passo 2

Agora precisamos projetar um compensador que diminua o tempo de sedimentação em três vezes e mantenha o fator de amortecimento (mesmo overshoot). Para isso, devemos determinar a , b e K da função de transferência do compensador que satisfaça os critérios do enunciado.

C s = K s + a s + b

O primeiro passo é definir o polo dominante, e para isso precisamos de ζ e ω n .

Como desejamos manter o overshoot igual, não iremos alterar o gator de amortecimento considerar:

ζ = 0,52

Já que desejamos reduzir o tempo de sedimentação em três vezes mantendo o fator de amortecimento constante, a frequência crítica ω n deve ser o triplo:

T s 2 % = 4 ζ ω n

ω n = 3 * 6,73 = 20,19

O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Portanto:

s = - 10,5 ± 17,25   i

Passo 3

Vamos representar os polos da função de transferência em malha aberta e os polos dominantes no diagrama de lugar das raízes

Os dois polos da função de transferência estão representados com um “xis” vermelho. Os polos dominantes estão representados pelos pontos.

Agora precisamos determinar o polo e o zero do compensador que faça com que o os polos dominantes façam parte do local das raízes. Caso o exercício não tivesse sugerido um ponto para o zero nós poderíamos arbitrar esse ponto. Entretanto, foi pedido que usássemos - 10 como o zero do controlador.

Passo 4

Devemos agora determinar o valor de b . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:

A linha pontilhada vermelha foi traçada apenas para ajudar na visualização das identidades trigonométricas. Os polos dominantes tem valor real - 10,5 e imaginário ± 17,25 .

Para conseguir o ângulo θ 4 , precisamos calcular os ângulos θ 1 , θ 2 e θ 3 . Podemos calcular esses três ângulos utilizando o arcotangente deles. Então vamos lá:

θ 1 = 180 º - tan - 1 ⁡ 17,25 10,5 ≅ 121,3 º

θ 2 = 180 º - tan - 1 ⁡ 17,25 3,5 ≅ 101,5 º

θ 3 = 180 º - tan - 1 ⁡ 17,25 0,5 ≅ 91,7 º

A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 º , então:

θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 = - 180 ( 2 r + 1 )

Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros com ângulos positivos, então:

- 121,3 - 101,5 + 91,7 - θ 4 = - 180

θ 3 = 48,9

Sabendo o ângulo θ 4 é possível calcular a localização do polo:

tan ⁡ 48,9 º = 17,25 x

x ≅ 15,0

Como x é a distância do polo até - 10,5 , o polo se encontrará em - 25,5 .

Passo 5

Já temos o polo e o zero do compensador, agora só falta o ganho.

C s = K s + 10 s + 25,5

Só resta então calcular o valor do ganho K .

Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:

  K s + 10 s + 25   1 s ( s + 7 ) = 1

O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:

Dessa forma:

h 1 = 17,25 2 + 10,5 2 = 20,19

h 2 = 17,25 2 + 3,5 2 = 17,60

h 3 = 17,25 2 + 0,5 2 = 17,26

h 4 = 17,25 2 + 15 2 = 22,86

Portanto:

K h 3 h 1 h 2 h 4 = 1

K = h 1 h 2 h 4 h 3 = 20,19 * 17,60 * 22,86 17,26 = 470,6

Resposta

C s = 470,6 s + 10 s + 25,5