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Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço de fase

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Enunciado

Considere um sistema de controle em malha fechada com realimentação unitária e função em malha aberta dada por:

G s = 1 s ( s + 4 ) ( s + 6 )

Utilizar o método do lugar das raízes para projetar um compensador C ( s ) na forma:

C s = k s + z s + p

Tal que o sistema em malha fechada apresente os polos dominantes em - 2 ± 5 i . Assuma z = 5 .

Passo 1

Esse exercício já nos é fornecido no enunciado o local dos polos dominantes em malha fechada. Sendo assim, não precisamos calcular ζ e ω n , podemos partir direto para o esboço do lugar das raízes.

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

s = - 2 ± 5 i

Vamos representar no lugar das raízes os três polos em malha aberta e os polos dominantes:

Passo 2

O próximo passo seria arbitrar um ponto para o zero e encontrar um polo que faça com que o lugar das raízes passe pelos polos dominantes. Entretanto, não precisamos arbitrar esse ponto porque o enunciado pede que z = 5 . Então vamos colocar o zero e polo do compensador no diagrama:

Passo 3

Devemos agora determinar o valor de p . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:

A linha pontilhada vermelha foi desenhada apenas para auxiliar a visualização das relações trigonométricas no plano.

Para conseguir o ângulo θ 5 , precisamos calcular os ângulos θ 1 , θ 2 , θ 3 e θ 4 . Podemos calcular esses ângulos utilizando o arcotangentes deles. Então vamos lá:

θ 1 = 180 º - tan - 1 ⁡ 5 2 ≅ 111,8 º

θ 2 = tan - 1 ⁡ 5 2 = 68,2 º

θ 3 = tan - 1 ⁡ 5 3 = 59,0 º

θ 4 = tan - 1 ⁡ 5 4 = 51,3 º

A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 º , então:

θ 1 + + θ 2 + θ 3 + θ 4 + θ 5 = - 180 ( 2 r + 1 )

Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros comângulos positivos, então:

- 111,8 - 68,2 + 59,0 - 51,3 - θ 5 = - 180

θ 5 = 7,7 º

Conhecendo o ângulo θ 5 é possível calcular a localização do polo:

tan ⁡ 7,7 º = 5 x

x ≅ 37

Como x é a distância do polo até - 2 , o polo se encontrará em - 39 .

Passo 4

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K s + 5 s + 39

Só resta então calcular o valor do ganho K .

Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:

  K s + 5 s + 39   1 s ( s + 4 ) ( s + 6 ) = 1

O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:

Dessa forma:

h 1 = 5 2 + 2 2 = 5,38

h 2 = 5 2 + 2 2 = 5,38

h 3 = 5 2 + 3 2 = 5,83

h 4 = 5 2 + 4 2 = 6,40

h 1 = 5 2 + 37 2 = 37,33

Portanto:

K * h 3 h 1 h 2 h 4 h 5 = 1

K = h 1 h 2 h 4 h 5 h 3 = 5,38 * 5,38 * 6,40 * 37,33 5,83 = 1179,52

Resposta

C s = 1179,52 s + 5 s + 39