Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço de fase

Ver Teoria

Enunciado

Considere um servomecanismo baseado num motor CC controlado pela armadura com função de transferência:

G s = 4 s s + 2

Projete um compensador de avanço de modo que o fator de amortecimento permaneça constante ( ζ = 0,5 → O S ≅ 16 % ), porém com tempo de acomodação para tolerância de 2 % de 2   s e g u n d o s .

Passo 1

Precisamos determinar a , b e c da função de transferência do compensador que satisfaça os critérios do enunciado.

C s = K s + a s + b

O primeiro passo é definir o polo dominante, e para isso precisamos de ζ e ω n . O valor de ζ já foi dado no enuciado e ω n podemos calcular como abaixo:

ζ = 0,5

T s 2 % = 4 ζ ω n

ω n = 4 T s ζ = 4 2 * 0,5 = 4

O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Portanto:

s = - 2 ± 2 3   i

Passo 2

Vamos representar os polos da função de transferência em malha aberta e os polos dominantes no diagrama de lugar das raízes

Os dois polos da função de transferência estão representados com um “xis” vermelho e os polos dominantes estão representados pelos pontos. Agora precisamos determinar o polo e o zero do compensador que faça com que o os polos dominantes façam parte do local das raízes. Existem infinitas combinações para esse polo e zero. Sendo assim, vamos arbitrar um valor para o zero e calcular o polo depois a partir desse valor de arbitrado do zero.

Uma tática é colocar o zero sobre o eixo dos reais com o mesmo valor do polo dominante. Nesse caso, o zero do compensador coincidiria com o polo da função de transferência que já existe em - 2 . Sendo assim, vamos arbitrar o zero um pouco para a esquerda, em - 2,5 .

Passo 3

Devemos agora determinar o valor de b . Para isso vamos ligar todos os polos e zeros ao polo dominante e calcular o ângulo formado:

Para conseguir o ângulo θ 4 , precisamos calcular os ângulos θ 1 , θ 2 e θ 3 . Podemos calcular esses três ângulos utilizando o arcotangentes deles. Então vamos lá:

θ 1 = 180 º - tan - 1 ⁡ 2 3 2 = 120 º

O ângulo θ 2 é 90 º visto que está na mesma linha horizontal que o polo dominante.

θ 3 = tan - 1 ⁡ 2 3 0,5 ≅ 82 º

A soma de todos os ângulos dos zeros e polos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 º , então:

θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 = - 180 ( 2 r + 1 )

Lembrando que os polos contribuem com ângulos negativos e os zeros comângulos positivos, então:

- 120 - 90 + 82 - θ 4 = - 180

θ 4 = 52 º

Sabendo o ângulo θ 4 é possível calcular a localização do polo:

tan ⁡ 52 º = 2 3 x

x ≅ 2,7

Como x é a distância do polo até - 2 , o polo se encontrará em - 4,7 .

Passo 4

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K s + 2,5 s + 4,7

Só resta então calcular o valor do ganho K .

Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:

  K s + 2,5 s + 4,7   4 s s + 2 = 1

O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:

Dessa forma:

h 1 = 2 2 + 2 3 2 = 4

h 2 = 2 3

h 3 = 0,5 2 + 2 3 2 = 3,5

h 4 = 2,7 2 + 2 3 2 ≅ 4,4

Portanto:

4 K * 3,5 4 * 2 3 * 4,4 = 1

K = 4,35

Resposta

C s = 4,35 s + 2,5 s + 4,7