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Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço de fase

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Enunciado

Considere um sistema com realimentação unitária função de transferência do processo:

G s = 1 s + 4 2

  1. Determine a posição dos polos dominantes para resultar em um tempo de acomodação de 1,6   s e g u n d o s e emum overshoot de 25 % .
  2. Se um compensador com o zero em - 1 for utilizado para alcançar as condições do item a), qual deve ser a contribuição angular do polo do compensador?
  3. Determine a posição do polo do compensador.
  4. Determine o ganho necessário para atender aos requisitos declarados no item a).

Passo 1

Para determinar a posição dos polos dominantes para as especificações dadas, precisamos calcular ζ e ω n que tornam esses requisitos verdadeiros. Uma vez que obtemos esses valores, os polos dominantes podem ser calculados pela fórmula:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Podemos calcular ζ através da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Para um overshoot de 25 % , teremos:

ζ = 0 , 40

Para achar ω n utilizaremos a expressão para tempo de sedimentação com critério de 2 % :

T s 2 % = 4 ζ ω n

ω n = 4 T s ζ = 4 1,6 * 0 , 4 = 6,25

Os polos dominantes são portanto:

s = - 2,5 ± 5,7 i

Passo 2

O item b) pede que seja calculado a contribuição de ângulo do polo de um compensador projetadopara atingir essas condições e com zero em - 1 . Vamo representar tudo isso no diagrama de lugar das raízes então:

Para definir o ângulo θ 3 , precisamo primeiro descobrir θ 1 e θ 2 . Sendo assim:

θ 1 = 180 º - tan - 1 ⁡ 5,7 1 , 5 = 1 0 4 , 74 º

θ 2 = tan - 1 ⁡ 5,7 1,5 = 75,26 º

No lugar das raízes, a soma de todos os ângulo feitos entre os zeros e polos e qualquer ponto por onde passa o lugar das raízes deve ser um múltiplo ímpar de - 180 º . Como desejamos que o lugar das raízes passe pelo nosso polo dominante, a soma de todas os ângulos deve satistafzer essa igualdade.

θ 1 + 3 θ 2 + θ 3 = - 180   ( 2 r + 1 )

104,74 - 3 * 76,26 + θ 3 = - 180

θ 3 = - 55 , 9 6 º

Obs: O ângulo θ 3 é multiplicado por três porque o polo em - 4 é de terceira ordem.

Passo 3

Para determinar a posição do polo, utilizaremos a tangente do módulo ângulo θ 3 :

tan ⁡ 55 , 9 6 º = 5,7 x

x = 3 , 85

Como x é a distância entre o polo e o ponto - 2,5 , o polo estará em - 6,35 .

b = 6 , 35

Passo 4

Para calular o ganho, devemos satisfazer a segunte condição:

  K s + 1 s + 6,35   1 s + 4 3 = 1

O módulo dos polos e zeros pode ser obtido calculando-se a distância entre eles e os polo dominante:

Dessa forma:

h 1 = 5,7 2 + 1 , 5 2 = 5,89

h 2 = 5,7 2 + 1,5 2 = 5,89

h 3 = 5,7 2 + 6,35 2 = 8,53

Sendo assim:

K h 1 h 2 3 h 3 = 1

h 2 está elevado ao cubo, devido ao fato de o polo em - 4 ser de terceira ordem.

Portanto:

K = h 2 3 h 3 h 1 = 5,89 3 * 8,53 5,89 = 295,93

Resposta

s = - 2,5 ± 5,7 i

θ 3 = - 55,96 º

b = 6,35

K = 295,93