Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Matrizes

UFRJ-P3-2012.1

Seja A uma matriz quadrada e sejam u ,   v e w vetores tais que A u = 0 e w = A T v .

Então u e w são ortogonais entre si.

a   A afirmativa é falsa

b   A afirmativa é verdadeira

Passo 1

Bom, primeiro vamos dar uma olhada em onde estão os vetores u e w certo?

Como temos A u = 0 , u N u c A , concordam?

Por outro lado, como w = A T v , temos que w I m ( A T ) ! Todo vetor que pode ser gerado pelas combinações das colunas de uma matriz faz parte da imagem dela ;)

Opa, espera aí, o que nós sabemos sobre o núcleo de uma matriz e a imagem de sua transposta? Aquele negócio MUITO importante que vocês não podiam esquecer lembram?

N u c A = I m A T

Sabemos que a imagem da transposta de A é o complemento ortogonal do núcleo de A . Em outras palavras, os vetores do núcleo de A são ortogonais aos vetores da imagem de A T .

Como u N u c A e w I m A T , temos que u w !! Logo, eles são ortogonais.

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Resposta

Letra b

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