Exercícios Resolvidos de Decomposição de Cholesky

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Enunciado

Encontre A = G . G T .

A = 4 - 2 2 - 2 10 - 7 2 - 7 30

Passo 1

Vamos aprender a calcular G   e G T é consequência :

Vamos fazer isso aos poucos e calcularemos termo por termo, assim teremos que ter uma coluna assim:

G = g 11 0 0 g 21 g 22 0 g 31 g 32 g 33

Começamos com a coluna 1.

Considerando a matriz A:

A = 4 - 2 2 - 2 10 - 7 2 - 7 30

Começaremos calculando o termo principal, que é aquele em que o linha e coluna são iguais e no caso da coluna 1 é o a 11 :

a 11 = g 2 11

g 11 = a 11 = 4 = 2

Agora, calculamos os elementos abaixo da diagonal principal:

g 21 = a 21 g 11 = - 2 2 = - 1

g 31 = a 31 g 11 = 2 2 = 1

Passo 2

Coluna 2.

g 22 = a 22 - g 2 21 = 10 - ( - 1 ) 2 = 3

Agora, calculamos os elementos abaixo da diagonal principal:

g 32 = a 32 - g 31 . g 21 g 22 = - 7 - 1 ( - 1 ) 3 = 3

Coluna 3.

g 33 = a 33 - g 2 3 1 - g 2 3 2 = 30 - 1 2 - - 2 2 = 5

Substituindo na matriz:

G = g 11 0 0 g 21 g 22 0 g 31 g 32 g 33 = 2 0 0 - 1 3 0 1 - 2 5

Se :

G = 2 0 0 - 1 3 0 1 - 2 5

G T = 2 - 1 1 0 3 - 2 0 0 5

Então:

A = G . G T

A = 2 0 0 - 1 3 0 1 - 2 5 . 2 - 1 1 0 3 - 2 0 0 5

Passo 3

Resposta

A = 2 0 0 - 1 3 0 1 - 2 5 . 2 - 1 1 0 3 - 2 0 0 5

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