Exercícios Resolvidos de Decomposição de Cholesky

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Enunciado

Utilize o algorítimo L D L T para encontrar a fatoração da forma A = L D L T para a seguinte matriz:

A = 16 - 4 12 - 4 - 4 2 - 1 1 12 - 1 14 - 2 - 4 1 - 2 83

Passo 1

Agora já podemos resolver pelo método de Eliminação de Gauss, vamos zerar os termos x 1 da matriz triangular inferior.

Vamos usar a primeira linha como base , entãos teremos o termo 2 em relação a 1 ( m 21 ) e termo 3 em relação a 1 ( m 31 ) , e ( m 41 )

m 21 = a 21 a 11 = - 4 16 = - 0,25

E para o caso da linha 3:

m 31 = a 31 a 11 = 12 16 = 0 , 75

Para a linha 4: m 41 = a 41 a 11 = - 4 16 = - 0 , 2 5

Agora é só a atualizar a matriz.

Repare que eu deixei os termos em vermelho né? Isso porque eles servirão como base para construir a matriz L. Para fazer essa atualização Usamos as seguintes fórmulas:

E 2 n o v a = E 2 - m 21 E 1

E 3 n o v a = E 3 - m 31 E 1

E 4 n o v a = E 4 - m 41 E 1

Agora, nós aplicamos essa fórmula em cada termo.

Primeiro para a linha E 2 :

E 2 n o v a = E 2 - m 21 E 1

( a 21 ) = - 4 - 16 . - 0,25 = 0

( a 22 ) = 2 - - 4 . - 0,25 = 1

( a 23 ) = - 1 - 12 . - 0,25 = 2

( a 24 ) = 1 - - 4 . - 0,25 = 0

Agora, para a linha E 3 :

E 3 n o v a = E 3 - m 31 E 1

( a 31 ) = 12 - 16.0,75 = 0

( a 32 ) = - 1 - - 4.0,75 = 2

( a 33 ) = 14 - 12.0,75 = 5

( a 34 ) = - 2 - - 4.0,75 = 1

Agora, para a linha E 4 :

E 4 n o v a = E 4 - m 41 E 1

( a 41 ) = - 4 - 16 . - 0,25 = 0

( a 42 ) = 1 - - 4 . - 0,25 = 0

( a 43 ) = - 2 - 12 . - 0,25 = 1

( a 44 ) = 83 - - 4 . - 0,25 = 82

Agora, substituímos os termos das linhas atualizadas na matriz nova:

16 - 4 12 - 4 - 0,25 1 2 0 0 , 75 2 5 1 - 0,25 0 1 82

Passo 2

Vamos manter os termos m, que facilitará a nossa vida para montar a matriz L

Falta zerar o termo x 2 da linha E 3 , para isso, calcularemos o m 32 .

m 32 = a 32 a 22 = 2 1 = 2

m 43 = a 4 2 a 22 = 0 1 = 0

Maneiríssimo... Agora é só começarmos a atualizar a matriz.

E 3 n o v a = E 3 - m 31 E 1

( a 32 ) = 2 - 2.1 = 0

( a 33 ) = 5 - 2.2 = 1

( a 34 ) = 1 - 2.0 = 1

Agora, para a linha E 4 :

E 4 n o v a = E 4 - m 41 E 1

( a 42 ) = 0 - 0 = 0

( a 43 ) = 1 - 0 = 1

( a 44 ) = 8 2 - 0 = 82

Agora, substituímos os termos das linhas atualizadas na matriz nova:

16 - 4 12 - 4 - 0,25 1 2 0 0,75 2 1 1 - 0,25 0 1 82

Passo 3

Falta zerar o termo x 3 da linha E 4 , para isso, calcularemos o m 43 .

m 43 = a 43 a 33 = 1 1 = 1

Atualizando:

Os termos em vermelho servirão como base para construir a matriz L. Para fazer essa atualização Usamos as seguintes fórmulas:

E 4 n o v a = E 4 - m 43 E 3

Agora, nós aplicamos essa fórmula em cada termo.

E 4 n o v a = E 4 - m 43 E 3

( a 43 ) = 1 - 1 = 0

( a 44 ) = 82 - 1 = 81

Atualizando:

16 - 4 12 - 4 - 0,25 1 2 0 0,75 2 1 1 - 0,25 0 1 8 1

Passo 4

Agora achamos L e U e transformamos em L D L T :

16 - 4 12 - 4 - 0,25 1 2 0 0,75 2 1 1 - 0,25 0 1 81

L = 1 0 0 0 - 0,25 1 0 0 0,75 2 1 0 - 0,25 0 1 1

U = 16 - 4 12 - 4 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 81

Já conhecemos L, L T é a sua transposta:

L T = 1 - 0,25 0,75 - 0,25 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1

A matriz D é basicamente a diagonal principal da matriz U, com os demais termos nulos:

D = 16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 81

Então :

A = L D L T

A = 1 0 0 0 - 0,25 1 0 0 0,75 2 1 0 - 0,25 0 1 1 . 16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 81 . 1 - 0,25 0,75 - 0,25 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1

Resposta

A = 1 0 0 0 - 0,25 1 0 0 0,75 2 1 0 - 0,25 0 1 1 . 16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 81 . 1 - 0,25 0,75 - 0,25 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1

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