Exercícios Resolvidos de Decomposição de Cholesky

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Enunciado

Utilize o algorítimo L D L T para encontrar a fatoração da forma A = L D L T para a seguinte matriz:

A = 2 1 2 1 2 3 4 1 2

Passo 1

Para resolver esse problema, usamos a nossa velha e conhecida Eliminação de Gauss para solucionar a fatoração LU.

Inicialmente, temos:

A = 2 1 2 1 2 3 4 1 2

Para isso, pegamos nossa matriz e tiramos os seus coeficientes de multiplicação:

Vamos usar a primeira linha como base , entãos teremos o termo 2 em relação a 1 ( m 21 ) e termo 3 em relação a 1 ( m 31 ) .

m 21 = a 21 a 11 = 1 2 = 0,5

E para o caso da linha 3:

m 31 = a 31 a 11 = 4 2 = 2

Dale atualizar a matriz!!

Os termos em vermelho servirão como base para construir a matriz L. Para fazer essa atualização Usamos as seguintes fórmulas:

E 2 n o v a = E 2 - m 21 E 1

E 3 n o v a = E 3 - m 31 E 1

Agora, nós aplicamos essa fórmula em cada termo.

Primeiro para a linha E 2 :

E 2 n o v a = E 2 - m 21 E 1

( a 21 ) = 1 - 0,5.2 = 0

( a 22 ) = 2 - 0,5.1 = 1 , 5

( a 23 ) = 3 - 0,5.2 = 2

Agora, para a linha E 3 :

E 3 n o v a = E 3 - m 31 E 1

( a 31 ) = 4 - ( 2.2 ) = 0

( a 32 ) = 1 - 1.2 = - 1

( a 33 ) = 2 - 2.2 = - 2

Agora, substituímos os termos das linhas atualizadas na matriz nova:

A = 2 1 2 0 1,5 2 0 - 1 - 2

Falta zerar o termo m 3 2 .

Passo 2

Falta zerar o termo x 2 da linha E 3 , para isso, calcularemos o m 32 , substituindo a linha 3 e usando a linha 2 como base:

A = 2 1 2 0 1,5 2 0 - 1 - 2

m 32 = a 32 a 22 = - 1 1,5 = - 0 , 67

Atualizamos a linha E 3 :

E 3 n o v a = E 3 - m 32 E 2

( a 32 ) = - 1 - - 0,67.1,5 = 0

( a 33 ) = - 2 - - 0,67.2 = - 0,67

Atualizando a matriz nova temos:

2 1 2 0 1,5 2 0 0 - 0,67

Agora é só separar em L e U

Passo 3

Por via de regra, os termos que estão na diagonal principal e na matriz triangular superior irão formar juntos a matriz U, e os termos/coeficientes usados para zerar a matriz triangular inferior vão servir para formar a matriz L.

2 1 2 0,5 1,5 2 2 - 0,67 - 0,67

Então, L:

L = 1 0 0 0,5 1 0 2 - 0,67 1

U:

U = 2 1 2 0 1,5 2 0 0 - 0,67

Agora, encontraremos os termos que importam: L D L T .

Passo 4

Vamos começar pelo que é mais fácil, certo? Já temos a matriz L ,   então L T   é a própria transposta de L .

L = 1 0 0 0,5 1 0 2 - 0,67 1

Agora é só trocar colunas por linhas:

L T   = 1 0,5 2 0 1 - 0,67 0 0 1

E no caso na matriz D ?

Hmmm..... a matriz D é basicamente a matriz U multiplicada por uma matriz identidade de mesmo tamanho:

U . I = 2 1 2 0 1,5 2 0 0 - 0,67 . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 2 0 0 0 1,5 0 0 0 - 0,67 = D

Então, dizer que A = L D L T é fazer isso aqui:

A = 1 0 0 0,5 1 0 2 - 0,67 1 . 1 0,5 2 0 1 - 0,67 0 0 1 . 2 0 0 0 1,5 0 0 0 - 0,67

Resposta

A = L D L T

A = 1 0 0 0,5 1 0 2 - 0,67 1 . 1 0,5 2 0 1 - 0,67 0 0 1 . 2 0 0 0 1,5 0 0 0 - 0,67

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