Exercícios Resolvidos de Decomposição de Cholesky

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Enunciado

Prove que a A pode ser decomposta em : A = G . G T .

A = 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3

Passo 1

Simetria: O primeiro passo é encontrar a matriz transposta de A. Faremos isso invertendo linhas e colunas.

A = 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3

Tudo o que agora é coluna, será transformado em linha.

  A T = 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3

Coluna 1 virou linha 1, coluna 2 virou linha 2 e coluna 3 virou linha 3. Tranquilo né?

Mas, para ser simétrica:

A   =   A T

Então, cada termo a i j de A deve ser igua   A T .

1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3 = 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3

Opa, igualzinho né? Critério 1 satisfeito.

Passo 2

Agora vamos ao outro critério, ser positiva definida. A matriz é definida se cada uma de suas matrizes principais tiver um determinante positivo:

A 1 = a 11 = ( 1 )

A 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 = 1 1 1 2

A 3 = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3

Agora,calculamos os determinantes de A 1 ,   A 2   e   A 3 :

I     det ⁡ A 1 = det ⁡ 1 = 1 > 0

I I       d e t ⁡ ( A 2 ) = d e t 1 1 1 2 = 1.2 - 1.1 = 1 > 0

d e t ⁡ ( A 3 ) = d e t 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3 = 1.2 . 3 + 1 . - 1.0 + 1 . - 1.0 - 0.2 . 0 + 1 + 3

I I I   d e t ⁡ ( A 3 ) = 2 > 0

Como todos os determinantes são positivos, nossa matriz é definida positiva!

Resposta

Simétrica

A   =   A T

1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3 = 1 1 0 1 2 - 1 0 - 1 3

Positiva

det ⁡ A 1 = 1 > 0

det ⁡ A 2 = 1 > 0

det ⁡ A 3 = 2 > 0

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