Exercícios Resolvidos de Densidade de Corrente Uniforme

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Enunciado

O cobre contém 8,5 × 10 28 elétrons livres por metro cúbico. Um fio de cobre com calibre 12 , que possui diâmetro de 2,05   m m e comprimento de 71,0   c m , conduz uma corrente elétrica igual a 4,85   A .

(a) Qual é o tempo necessário para um elétron percorrer o comprimento do fio?

(b) Repite a parte (a) para um fio de cobre com calibre 6 (diâmetro igual a 4,12   m m ) com o mesmo comprimento e conduzindo a mesma corrente.

(c) De modo geral, como a variação do diâmetro de um fio altera a velocidade de arraste dos elétrons no fio?

Passo 1

(a) Qual é o tempo necessário para um elétron percorrer o comprimento do fio?

Vamos começar a resolver essa questão calculando a densidade de corrente. A gente sabe que, por definição:

J = I A = I π r 2 ,

J = 4,85 π 1,025 × 10 - 3 2 ≈ 1,5 × 10 6   A / m 2 .

Passo 2

Com isso, a gente consegue calcular a velocidade de arraste, que é dada por:

v d = J n e ,

v d = 1,5 × 10 6 8,5 × 10 28 × 1,6 × 10 - 19 ≈ 1,1 × 10 - 4   m / s .

Passo 3

O tempo necessário para um elétron percorrer o comprimento L do fio vai ser dado por:

t = L v d ,

t = 71 × 10 - 2 1,1 × 10 - 4 ≈ 64,5 × 10 2   s .

Passo 4

(b) Repite a parte (a) para um fio de cobre com calibre 6 (diâmetro igual a 4,12   m m ) com o mesmo comprimento e conduzindo a mesma corrente.

Vamos lá: aqui precisamos repetir os passos acima para um novo diâmetros.

Então, a nova densidade de corrente será:

J = 4,85 π 2,06 × 10 - 3 2 ≈ 3 , 6 × 10 5   A / m 2 .

A nova velocidade de arraste será:

v d = 3,6 × 10 5 8,5 × 10 28 × 1,6 × 10 - 19 ≈ 2,6 × 10 - 5   m / s .

E, por fim, o novo tempo será

t = 71 × 10 - 2 2,6 × 10 - 5 ≈ 27,3 × 10 3   s .

Passo 5

(c) De modo geral, como a variação do diâmetro de um fio altera a velocidade de arraste dos elétrons no fio?

A gente consegue perceber pela fórmula da velocidade de arraste que ela é proporcional à densidade de corrente. Assim sendo, ela será inversamente proporcional ao quadrado do diâmetro do fio. Isso significa que que se a gente aumentar o diâmetro por um fator qualquer, a velocidade de arraste vai diminuir com o quadrado desse mesmo fator ;)

Resposta

(a) t = 64,5 × 10 2   s .

(b) t = 27,3 × 10 3   s .

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