Exercícios Resolvidos de Derivação Numérica

Ver Teoria

Enunciado

Considere a seguinte função

f ( x )   =   2 x 2   +   c o s ( 3 x )

e determine:

o valor máximo da derivada de ordem n de f ( x ) , isto é,   M n   =   m a x x ∈ [ 0,1 ]   f ( n ) ( x ) ;

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é determinar

M n   =   m a x x ∈ [ 0,1 ]   f ( n ) ( x ) ;

Vamos tentar achar uma expressão geral para a derivada de f .

Nas letras a,b. calculamos até a quinta derivada, e descobrimos que elas são:

f ( 1 ) = 4 x - 3 s i n ( 3 x )

f ( 2 ) = 4 - 9 c o s ( 3 x )

f ( 3 ) = 27 s i n ( 3 x )

f ( 4 ) = 81 c o s ( 3 x )

f ( 5 ) = - 243 s i n ( 3 x )

Parece que não temos muito o que fazer com as duas primeiras derivadas. Mas depois disso temos um padrão. pois estaremos derivando senos e cossenos. Temos que

f ( 3 ) = 27 s i n ( 3 x )

= 3 3 s i n ( 3 x )

e

f ( 4 ) = 3 4 c o s ( 3 x )

e

f ( 5 ) = - 243 s i n ( 3 x )

- 3 5 s i n ( 3 x )

Ou seja, as derivadas maiores que 3 são da forma

± 3 n g ( x )

onde a g é um seno ou um cosseno.

Ora como seno e cosseno estão entre zero e um, qual é o maior valor possível das derivadas? Se

n ≥ 3 então

M n   =   3 n

e para n = 2 temos:

  M 2 = m a x x ∈ [ 0,1 ]   f ( 2 ) ( x )

= 13

e para n = 1 temos:

  M 1 = m a x x ∈ [ 0,1 ]   f ( 1 ) ( x )

= ∞

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

desenvolvimento acima

Exercícios de Livros Relacionados

27. Deduza a aproximação (2) para y ' ' ( x i ) usando a aproximação de y ( x ) por p 2 ( x ) conforme sugerido no texto.