Exercícios Resolvidos de Derivação Numérica

Ver Teoria

Enunciado

Os dados do último exercício foram tirados das funções abaixo. Calcule o erro absoluto das suas aproximações do exercício 3 e encontre limitantes para o erro.

a f x = e 2 x

b f x = x ln ⁡ x

Passo 1

a Relembrando as aproximações que encontramos no último exercício:

f ' 1.1 ≅ 19.98167

f ' 1.2 ≅ 22.19364

f ' 1.3 ≅ 27.10735

f ' 1.4 ≅ 29.8091

O valor exato vai ser:

f x = e 2 x

f ' x = 2 e 2 x

f ' 1.1 = 18.05

f ' 1.2 = 22.0464

f ' 1.3 = 26.9275

f ' 1.5 = 32.8893

E A f ' 1.1 = 19.98167 - 18.05 = 1.93167

E A f ' 1.2 = 22.19364 - 22.0464 = 0.14724

E A f ' 1.3 = 27.10735 - 26.9275 = 0.17985

E A f ' 1.4 = 29.8091 - 32.8893 = 3.0802

Repare que os erros obtidos na diferença avançada e atrasada foram mais de 10 vezes maiores que os erros obtidos na diferença central.

Passo 2

Agora temos que encontrar o limitante para o erro usando a fórmula:

E ≤ h 2 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

para as fórmulas da diferença avançada e atrasada e a fórmula

E ≤ h 2 6 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f 3 x

para a diferença central. Temos que:

f ' ' x = 4 e 2 x

f 3 x = 8 e 2 x

E disso tiramos os valores dos máximos necessários:

max x ∈ 1.1,1.2 ⁡ 4 e 2 x = 4 e 2 1.2 = 44.0927

max x ∈ 1.1,1.3 ⁡ 8 e 2 x = 8 e 2 1.3 = 107.710

max x ∈ 1.2,1.4 ⁡ 8 e 2 x = 8 e 2 1.4 = 131.557

max x ∈ 1.3,1.4 ⁡ 4 e 2 x = 4 e 2 1.4 = 65.7786

Substituindo nas fórmulas:

E A f ' 1.1 ≤ 0.1 2 ∙ 44.0927 = 2.204635

E A f ' 1.2 ≤ 0.2 2 6 ∙ 107.710 = 0.718067

E A f ' 1.3 ≤ 0.2 2 6 ∙ 131.557 = 0.877047

E A f ' 1.4 ≤ 0.1 2 ∙ 65.7786 = 3.28893

Passo 3

Organizando numa tabelinha:

Passo 4

b As aproximações do último exercício foram:

f ' 8.1 ≅ 3.1041

f ' 8.3 ≅ 3.11615

f ' 8.5 ≅ 3.14

f ' 8.7 ≅ 3.15175

O valor exato vai ser:

f x = x ln ⁡ x

f ' x = ln ⁡ x + 1

f ' 8.1 = 3.09186

f ' 8.3 = 3.11626

f ' 8.5 = 3.14007

f ' 8.7 = 3.16332

E A f ' 8 . 1 = 3.1041 - 3.09186 = 0.01224

E A f ' 8.3 = 3.11615 - 3.11626 = 0.00011

E A f ' 8.5 = 3.14 - 3.14007 = 0.00007

E A f ' 8.7 = 3.15175 - 3.16332 = 0.01157

Novamente os erros obtidos na diferença avançada e atrasada foram bem maiores que os erros da diferença central. Aproximadamente 100 vezes maiores dessa vez haha.

Passo 5

Agora temos que encontrar o limitante para o erro usando a fórmula:

E ≤ h 2 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

para as fórmulas da diferença avançada e atrasada e a fórmula

E ≤ h 2 6 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f 3 x

para a diferença central. Temos que:

f ' ' x = 1 x

f 3 x = - 1 x 2

E disso tiramos os valores dos máximos necessários:

max x ∈ 8.1,8.3 ⁡ 1 x = 1 8.1 = 0.123457

max x ∈ 8.1,8.5 ⁡ - 1 x 2 = 1 8.1 2 = 0.015242

max x ∈ 8.3,8.7 ⁡ - 1 x 2 = 1 8 . 3 2 = 0.014516

max x ∈ 8.5,8.7 ⁡ 1 x = 1 8 . 5 = 0.117647

Substituindo nas fórmulas:

E A f ' 8.1 ≤ 0 . 2 2 ∙ 0.123457 = 0.012346

E A f ' 8.3 ≤ 0 . 4 2 6 ∙ 0.015242 = 0.000406

E A f ' 8.5 ≤ 0 . 4 2 6 ∙ 0.014516 = 0.000387

E A f ' 8.7 ≤ 0 . 2 2 ∙ 0.117647 = 0.011765

Passo 6

Organizando numa tabelinha:

Resposta

a

b

Exercícios de Livros Relacionados

27. Deduza a aproximação (2) para y ' ' ( x i ) usando a aproximação de y ( x ) por p 2 ( x ) conforme sugerido no texto.