Exercícios Resolvidos de Diâmetros Médios

Ver Teoria

Enunciado

Deseja-se peneirar areia, 4   t o n / h , no sistema de peneiras vibratórias esquematizado. Pede-se:

  1. Determinar o diâmetro médio de Sauter da areia com base em X i
  2. Determinar a produção de A ,   B ,   C em t o n / h e o diâmetro médio de Sauter de cada uma das frações com base em X i

Passo 1

Nessa questão, temos uma alimentação que passa por 2 peneiras e dá origem a 3 correntes. E queremos saber a vazão e os diâmetros médios de Sauter. Então, precisamos usar também os conceitos de peneiração!

Como vamos precisar calcular diâmetros médios, vamos precisar de informação de diâmetros e, por isso, temos que converter M e s h   T y l e r para diâmetro. Além disso, o enunciado pede pra calcular os diâmetros médios de Sauter por X i , daí, vamos ter que usar a seguinte fórmula:

d - = 1 ∑ X i d i

Bora então nos organizar. Vamos ter que adicionar a tabela: d i - , d i + ,   d i   e   X i . Para a conversão de M e s h para diâmetros, temos que usar aquele tabelão que tá lá na teoria e para calcular os X i , temos que usar:

X i = m i ∑ m i = m i m

Então bora calcular o a massa total, ∑ m i :

∑ m i = 12,6 + 38,7 + 50,0 + 63,7 + 32,5 + 17,4 + 11,2 + 7,8 + 3,7 + 5,5 = 243,1

Daí a primeira linha, por exemplo, vai ter X 1 :

X 1 = 12,6 243,1 = 5,18 * 10 - 2 ≈ 0,052

Montando nossa tabela:

Dois comentários que eu queria fazer a respeito dessa tabela são:

  • Repara que eu coloquei, na tabela, os diâmetros em milímetro ( 1 m m = 10 - 3 m ). Fiz isso pra gente não ficar sempre só colocando diâmetros em micra ( μ m ). Sei que é algo meio bobo, mas uma unidade que você nunca usou pode acabar confundindo na hora da pressa na prova
  • Na hora de calcular o d i na primeira linha, só temos uma informação de diâmetro (relativo ao 8   M e s h ). Não tem nenhuma outra informação sobre algum outro diâmetro para essa faixa, então usamos d i = d m e n c i o n a d o

Agora, bora resolver o que o enunciado pede : )

Passo 2

  1. Determinar o diâmetro médio de Sauter da areia com base em X i
  2. É só aplicar fórmula.

    d - = 1 ∑ X i d i

    Eu prefiro trabalhar com o somatório em separado e depois juntar:

    ∑ X i d i = 1 10 - 3 * ( 0,052 2,38 + 0,159 2,03 + 0,206 1,435 + 0,262 1,02 + 0,134 0,72 + 0,072 0,51 + 0,046 0,356 + 0,032 0,253 + 0,015 0,18 + 0,023 0,112 = 1372,26

    Repara que eu coloquei em evidência o " v e z e s   10 - 3 " porque ninguém merece ficar repetindo isso 500   vezes né? Haha Voltando pra fórmula de d - :

    d - = 1 ∑ X i d i = 1 1372,26 = 7,28 * 10 - 4   m = 728   μ m

    Passo 3

  3. Determinar a produção de A ,   B ,   C em t o n / h e o diâmetro médio de Sauter de cada uma das frações com base em X i

Vamos por etapas: primeiro calculamos as produções A ,   B   e   C e depois pensamos em diâmetros médios para essas faixas, ok?

A primeira peneira é de M e s h   14 , daí ela retém todas partículas de   M e s h   14 pra baixo, ou seja, retém as partículas de diâmetro 1,19   m m pra cima. O que tiver diâmetro menor do que isso, passa por essa peneira de 14. Então, a corrente A vai ser composta de partículas de diâmetros 1,19   m m pra cima.

Já a peneira M e s h   35 retém as partículas com M e s h de 35 pra baixo, lembrando que só está indo pra essa segunda peneira o que passou pela peneira. Ou seja, a corrente B vai ser composta por partículas de diâmetro entre 1,19   m m e 0,500   m m . E o que passa por essa peneira vai para a corrente C .

Igual fizemos no exercício anterior, bora destacar na tabela, com diferentes cores, o que vai pra cada corrente, ok?

Numa prova, você não vai ter como mudar a cor da tabela, mas aconselho você destacar de alguma forma essas faixas, de boas? Circula ou faz chaves, por exemplo.

Já dividimos a tabela e sabemos quais frações vão para quais correntes. Agora é só somar as frações parciais para achar a fração total de cada corrente e multiplicar pela vazão, que é 4   t o n / h , para saber a vazão de cada uma das correntes A ,   B   e   C . Assim, olha:

X A = ∑ X v e r m e l h o s = 0,052 + 0,159 + 0,206 = 0,417

Daí a vazão da corrente A , que vou chamar de m ˙ A , vai ser:

m ˙ A = X A * 4   t o n / h = 1,668   t o n / h

Da mesma forma, a gente calcula as vazões de B   e   C :

X B = ∑ X a z u i s = 0,262 + 0,134 + 0,072 = 0,468

m ˙ B = X B * 4   t o n / h = 1,872   t o n / h

E para C :

X C = ∑ X v e r d e s = 0,046 + 0,032 + 0,015 + 0,023 = 0,116

m ˙ C = X C * 4   t o n / h = 0,464   t o n / h

Passo 3

Agora só falta calcular os diâmetros médios de cada uma das frações A, B e C. Vamos com atenção. Bora relembrar a forma genérica para diâmetro médio de Sauter baseado em frações parciais.

d - = 1 ∑ X i d i

MASSSSSSSSS os X i que vamos usar para calcular aqui NÃO são os mesmos que estão naquele tabelão que a gente fez. Temos que considerar as frações de cada corrente. Tipo, é como se você estivesse recebendo três problemas diferentes. Bora ver o caso do A que vai ficar mais claro.

Qual a massa total dessa amostra que “inventamos”?

∑ m i = 12,6 + 38,7 + 50,0 = 101,3

Daí a fração relativa a massa de 12,6   g é:

X 1 ` = 12,6 101,3 = 0,124

Os d i são os mesmos, já que não é porque a partícula mudou de corrente que o tamanho dela muda, certo? Daí calculando o diâmetro médio de Sauter para a fração A, que vou chamar de d - A :

d - A = 1 ∑ X i ` d i = 1 1 10 - 3 * 0,124 2,38 + 0,382 2,03 + 0,493 1,435 = 1 584 = 0,00171 m = 1710   μ m

Eu sei que você já sabe que eu prefiro fazer o somatório em separado, mas resolvi fazer tudo junto aqui pra não ficar mais enrolado haha

Para a corrente B , é como se tivesse:

Para calcularmos os X i ` , precisamos calcular a massa total dessa amostra que inventamos:

∑ m i = 63,7 + 32,5 + 17,4 = 113,6

Calculando as frações X i ` :

E o diâmetro médio para essa corrente B é:

d - B = 1 ∑ X i ` d i = 1 1 10 - 3 * 0,561 1,02 + 0,286 0,72 + 0,153 0,51 = 1 1247 = 0,000801   m = 801   μ m  

Para a corrente C :

∑ m i = 11,2 + 7,8 + 3,7 + 5,5 = 28,2

Calculando as frações X i ` :

d - C = 1 ∑ X i ` d i = 1 1 10 - 3 * 0,397 0,356 + 0,276 0,253 + 0,131 0,18 + 0,195 0,112 = 1 4675 = 0,000214   m = 214   μ m

Resposta

  1. d - = 728   μ m
  2. m ˙ A = 1,668 t o n h , d - A = 1710   μ m

m ˙ B = 1,872 t o n h , d - B = 801   μ m

m ˙ C = 0,464 t o n h , d - C = 214   μ m