Exercícios Resolvidos de Diâmetros Médios

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Enunciado

A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:

Pede-se:

  1. Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra, com base no modelo GGS.

Passo 1

Temos uma tabela com pares ( d , y ), com diâmetros em μ m , e vamos ter que calcular o diâmetro médio de Sauter com base no modelo GGS, que é um dos modelos que vimos pra descrever a curva y em função de d . Daí, como está envolvendo y , vamos ter que usar a fórmula para diâmetro médio de Sauter que envolve y também, que é essa aqui:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

Vamos ter que isolar o diâmetro d na equação para y e lançar nessa fórmula. Mas primeiro de tudo, precisamos da equação pra y . Então bora lá:

Passo 2

Temos que calcular a equação pra y pelo modelo GGS, que tem a cara:

y = d k m

Para estimar os parâmetros m e k , vamos precisar dessa equação linearizada e depois fazer regressão linear, lembra? Como vimos lá no tópico “Distribuição de Tamanhos”, a forma linearizada do GGS fica:

ln ⁡ y = m * ln ⁡ d - m * ln ⁡ k

E, comparando com a equação genérica de uma reta, Y = A * X + B :

Y = ln ⁡ y A = m X = ln ⁡ d B = - m * ln ⁡ k

Portanto, vamos precisar lançar, num gráfico, ln ⁡ y versus ln ⁡ d . Bora construir, então, uma tabela com os valores. Mas não esquece que os valores de y precisam estar em base unitária!!!

E, também, temos que desprezar pontos com y = 0 e pontos com y = 1 quando vamos fazer linearizações. Daí bora sumir com esse último ponto aí logo:

Agora sim bora achar os pares ( ln ⁡ d   , ln ⁡ y ):

Fazendo a regressão linear com os pares ( ln ⁡ d   , ln ⁡ y ):

Lembrando que:

Y = ln ⁡ y A = m X = ln ⁡ d B = - m * ln ⁡ k

Daí:

A = m = 1,9537

B = - m * ln ⁡ k = - 11,157

Substituindo o valor de m nessa segunda equação e cortando os “menos”:

1,9537 * ln ⁡ k = 11,157

ln ⁡ k = 11,157 1,9537

ln ⁡ k = 5,71

k = 301,87   μ m

Daí, escrevendo nossa equação de y :

y = d 301,87 1,9537

Passo 3

Bora agora calcular o diâmetro médio de Sauter:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d

Vamos precisar de d = d ( y ) , ou seja, d em função de y ; temos y = y ( d ) . Daí, temos que isolar o d na fórmula do y :

y = d 301,87 1,9537

Elevando os dois lados a 1 m , isto é, 1 1,9537 :

y 1 1,9537 = d 301,87 1,9537 1,9537 = d 301,87

Rearranjando:

d = 301,87 * y 0,51

Agora é só jogar isso na fórmula do diâmetro de Sauter:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d = 1 ∫ 0 1 d y 301,87 * y 0,51

Gosto pessoal: eu prefiro resolver a integral separado a ir levando no denominador. Acho mais fácil pra pra enxergar sei lá haha. Se preferir ir de uma vez só, de boas também.

∫ 0 1 d y 301,87 * y 0,51 = 1 301,87 * ∫ 0 1 d y y 0,51 = 1 301,87 * y 0,49 0,49 0 1 = 6,76 * 10 - 3

Voltando pra fórmula do diâmetro médio:

d - = 1 ∫ 0 1 d y d = 1 ∫ 0 1 d y 301,87 * y 0,51 = 1 6,76 * 10 - 3 = 147,93   μ m

Resposta

d - = 147,93   μ m