Exercícios Resolvidos de Dilatação de Líquidos

Um copo de vidro de espessura desprezível e volume inicial V 0 cheio de água até a borda inicialmente a uma temperatura T i é aquecido até uma temperatura T f . Observa-se que o volume de água transbordado no copo é: (considere o coeficiente de dilatação linear do vidro α v e o coeficiente de dilatação volumétrica da água γ a )

(a) γ a + α v V 0   T f   –   T i

(b) γ a + 2 α v V 0   ( T f   –   T i )

(c) γ a +   3 α v V 0   T f   –   T i

(d) γ a   –   α v V 0   T f   –   T i

(e) γ a   –   2 α v V 0   ( T f   –   T i )

(f) γ a   –   3 α v V 0   ( T f   –   T i )

Passo 1

Vamos relembrar as equações de dilatação dos sólidos e líquidos.Em nosso exercício, tanto o copo quanto o líquido expandem nas 3 direções espaciais (comprimento, largura, espessura). Assim, vamos focar nossas atenções nesse tipo de dilatação.

Considere um corpo (pode ser líquido ou sólido) de volume V 0 inicialmente com a temperatura T i . Quando a temperatura do corpo vai de T i para uma temperatura T f , então o volume do corpo (após a mudança de temperatura) será V f , sendo que V f = V 0 + Δ V , com

Δ V =   V 0 γ T f - T i

isto é, a variação de volume Δ V que o corpo sofre é proporcional ao volume inicial do corpo V 0 e a variação de temperatura que o corpo sofre Δ T = T f - T i . A constante de proporcionalidade γ é chamada de coeficiente de dilatação volumétrica do corpo.

Uma coisa muito importante é que PARA SÓLIDOS, podemos determinar o coeficiente de dilatação volumétrica a partir do coeficiente de dilatação linear (dilatação em uma direção. Por exemplo, comprimento) utilizando a equação

γ = 3 α

Vamos agora determinar o volume de água que transbordou do copo após o aquecimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que relembramos a equação para a dilatação, vamos atacar nosso problema.

Queremos determinar o volume de água que transbordou do copo de vidro quando ambos foram aquecidos de T i até T f . Para tanto, basta determinarmos o volume final de cada um (água e copo de vidro) depois do aquecimento e calcularmos a diferença entre eles (lembrando que a água transbordou, então a água dilatou mais que o copo).

Sendo assim, sejam V f a e V f v os volumes finais da água e do copo de vidro, respectivamente. Vimos que eles são dados por

V f a = V 0 a + Δ V a = V 0 a + V 0 a γ a ( T f - T i )

V f v = V 0 v + Δ V v = V 0 v + V 0 v γ v T f - T i Assim, se D é a diferença entre os volumes finais, isto é, D = V f a - V f v , então

D =   V 0 a + V 0 a γ a T f - T i - V 0 v + V 0 v γ v T f - T i    

D =   V 0 a + V 0 a γ a T f - T i -     V 0 v - V 0 v γ v T f - T i

O enunciado diz que, inicialmente, o copo está cheio até a borda. Como a espessura do copo é desprezível, então os volume iniciais de ambos são iguais, isto é, V 0 a = V 0 v = V 0 . Logo,

D =   V 0 + V 0 γ a T f - T i -     V 0 - V 0 γ v T f - T i

D = γ a - γ v V 0 T f - T i

Agora precisamos determinar o coeficiente de dilatação volumétrica do vidro. O enunciado diz que o coeficiente de dilatação linear do vidro é α v . Assim, podemos escrever

γ v = 3 α v

Portanto, temos que a diferença D entre os volumes finais da água e do copo de vidro é

D = γ a - 3 α v V 0 T f - T i

Passo 3

Analisando as alternativas, vemos que a resposta certa é a letra ( f ) .

Resposta

L e t r a   ( f ) .

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