Exercícios Resolvidos de EDO de Ordem Superior

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Enunciado

Determine as características das soluções da equação

2 x ( x + 1 ) y ' '   +   ( x + 3 ) y '   -   x y   =   0

próximo dos pontos singulares regulares. Lembre: Você deve determinar quais são os pontos singulares regulares e, para cada um deles, determinar a equação indicial, expoentes da singularidade e a forma da solução (não é necessário exibir explicitamente os coeficientes da solução). E, depois, dizer o que acontece com as soluções obtidas próximo do ponto singular regular associado.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bão por aí???

Hoje nós vamos destruir essa questão teórica! Vem comigooo!

Nosso primeiro desafio é encontrar o ponto singular regular, sabendo que os pontos singulares:

P x = 2 x ( x + 1 )

Q x = x + 3

R x = - x

Logo, as raízes que zeram essas equações podem ser:

x = 0 ,   x = - 1 ,   x = - 3

E pra sabermos se é regular, vamos usar o método de Frobenius na qual temos que calcular:

lim x → xo ⁡ x - x o Q x P ( x )

E

lim x → xo ⁡ x - x o 2   R x P ( x )

Para x = 0 :

lim x → 0 ⁡ x - 0 ( x + 3 ) ( 2 x ( x + 1 ) ) = d i v e r g e

lim x → 0 ⁡ x - 0 2   - x 2 x ( x + 1 ) = - 1 2

A condição para ser singular é que os dois limites existam.

Para x = - 1 :

lim x → - 1 ⁡ x + 1 ( x + 3 ) ( 2 x ( x + 1 ) ) = d i v e r g e

lim x → - 1 ⁡ x + 1 2   - x 2 x ( x + 1 ) = d i v e r g e

Para x = - 3 :

lim x → - 3 ⁡ x + 3 ( x + 3 ) ( 2 x ( x + 1 ) ) = 0

lim x → - 3 ⁡ x + 3 2   - x 2 x ( x + 1 ) = 1 4

Ou sejaaa, apenas o ponto x = - 3 satisfez a condição para ser singular regular!

Passo 2

Pra determinarmos a equação indicial basta sabermos que ela tem a seguinte forma:

r r - 1 + q 0 r + r 0 = 0

Onde:

q 0 = lim x → xo ⁡ x - x o Q x P ( x )

r 0 = lim x → xo ⁡ x - x o 2   R x P ( x )

Opa, isso te parece familiar?? Pois é, são os limite que você tem que calcular pra dizer se seu ponto singular é regular. Aqui ficou molezinha! Vamos jogar o q 0 = 0 e r 0 = 1 4 que encontramos no início da questão:

r r - 1 + 0   r + 1 4 = 0

Desenvolvendo a equação:

r 2 - r + 1 4 = 0

Prontinhooo, essa é a nossa equação indicial!

Passo 3

E por fim, o enunciado os pede a forma da solução que seria expressa como:

y 1 = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n x n ,       x ≠ 0

E

y 2 = x r 2 1 + ∑ n = 1 ∞ b n x n ,       x ≠ 0

Ou

y 1 = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n x n ,       x > 0

E

y 2 = x r 2 1 + ∑ n = 1 ∞ b n x n ,       x > 0

Caso   x > 0 .

Curtiu a resolução? Responde Aí!!

Resposta

x = - 3 ,           r 2 - r + 1 4 = 0 ,         y 1 = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n x n ,           y 2 = x r 2 1 + ∑ n = 1 ∞ b n x n