Exercícios Resolvidos de EDO de Ordem Superior

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Enunciado

Mostre que o ponto x   = 0 é um ponto singular regular. Tente, em cada problema, encontrar soluções da forma ∑ n = 0 ∞ a n x n . Mostre que existe apenas uma solução não-nula dessa forma para o problema ( a ) e que não existem soluções não-nulas dessa forma para o problema ( b ) .

( b )   2 x 2 y ' ' + 3 x y ' - ( 1 + x ) y = 0

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

Temos que neste enunciado nos é indicado um ponto x = 0 que devemos mostrar como ponto singular e regular, para isso vamos ter que verificar as seguintes condições

l i m x → x 0 = 0 ( x - x 0 ) Q ( x ) P ( x ) = L 1

e,

l i m x → x 0 = 0 ( x - x 0 ) 2 R ( x ) P ( x ) = L 2

em que L 1 e L 2 são valores finitos. E, também temos que a equação diferencial dada no enunciado é da forma

P ( x ) y ' ' + Q ( x ) y ' + R ( x ) y = 0

em nossa alternativa temos que

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' - ( 1 + x ) y = 0

ou seja, P ( x ) = 2 x 2 , Q ( x ) = 3 x e R ( x ) = - ( 1 + x ) . Estas informações bastam para demonstrar a regularidade do ponto singular x = 0 . O restante da questão está relacionado a propor uma solução da forma

y   =   ∑ n = 0 ∞ a n x n

que não existirá, ou será uma solução trivial, de acordo com o enunciado para esta alternativa! Para encontrar esta solução vamos substituir este formato na equação diferencial e verificar as condições para a existência e unicidade da solução! Então! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro para verificar que x = 0 é singular regular, vamos escrever as condições de regularidade

l i m x → x 0 = 0 ( x - x 0 ) Q ( x ) P ( x ) = l i m x → 0 ( x - 0 ) 3 x 2 x 2

Como temos um x no denominador, e outro no numerador, podemos simplificá-lo, note que

l i m x → 0 ( x - 0 ) 3 x 2 x 2 = l i m x → 0 x 3 2 x

Simplificando novamente, temos que

l i m x → 0 x 3 2 x = l i m x → 0 3 2 = 3 / 2

Ou seja, a primeira condição é válida, uma vez que 3 / 2 é finito! A segunda condição é bastante similar, temos que

l i m x → x 0 = 0 ( x - x 0 ) 2 R ( x ) P ( x ) = l i m x → 0 ( x - 0 ) 2 - ( 1 + x ) 2 x

Agora será melhor distribuir alguns termos para obter

l i m x → 0 x 2 - ( 1 + x ) 2 x = l i m x → 0 - x 2 + l i m x → 0 x 2 2 = 0

Como 0 também é finito, ambas as condições são válidas e x = 0 é um ponto singular regular! Vamos começar a trabalhar na solução agora!

Passo 3

Temos a seguinte equação diferencial

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' - ( 1 + x ) y = 0

e, queremos uma solução da forma

y   =   ∑ n = 0 ∞ a n x n

Precisamos calcular a primeira derivada y ' e a segunda derivada y ' ' e encontrar as condições para que a equação diferencial seja obedecida. Como temos que a derivada é linear, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, ou seja, em um somatório como acima, podemos calcular a derivada como

d y d x = d d x [ ∑ n = 0 ∞ a n x n ] = ∑ n = 0 ∞ a n d d x [ x n ]

Para calcular esta derivada usamos então a regra do tombo, ou seja, temos que

d d x [ x n ] = n x n - 1

obtendo então que

d y d x = ∑ n = 0 ∞ a n   n   x n - 1

ou seja, a segunda derivada é da forma

d 2 y d x 2 = ∑ n = 0 ∞ a n   n d d x [   x n - 1 ]

e, pela regra do tombo novamente, temos que

d 2 y d x 2 = ∑ n = 0 ∞ a n   n ( n - 1 ) x n - 2

Com as derivadas em mãos vamos voltar à nossa equação diferencial e procurar as condições necessárias! Bora lá!

Passo 4

Usando ambas as derivadas em

2 x 2 y ' ' + 3 x y ' - ( 1 + x ) y = 0

temos que

2 x 2   ∑ n = 0 ∞ a n n ( n - 1 ) x n - 2 + 3 x   ∑ n = 0 ∞ a n n   x n - 1 - ( 1 + x ) ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Note que podemos simplesmente entrar com x nos somatórios e como x 2   x n - 2 = x n e x x n - 1 = x n , assim como x x n = x n + 1 podemos escrever

2 ∑ n = 0 ∞ a n n ( n - 1 ) x n + 3   ∑ n = 0 ∞ a n n   x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

É interessante evidenciarmos o máximo possível de termos acima para procurarmos uma recorrência, desta forma é interessante fazer a mudança m = n + 1 no último somatório, de forma que

2 ∑ n = 0 ∞ a n n ( n - 1 ) x n + 3   ∑ n = 0 ∞ a n n   x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n - ∑ m = 1 ∞ a m - 1 x m = 0

Note que use o fato que na mudança escolhida n = 0 leva à m = 1 e n = m - 1 . Ainda iremos precisar reescrever um pouco a equação acima para identificar a nossa recorrência! Vem comigo!

Passo 5

Para fazer isso será necessário escrever os dois outros somatórios com n = m , e evidenciar x m , no entanto, antes vamos primeiro expandir os primeiros somatórios de forma que os índices de todos as três somas sejam iguais, temos que

∑ m = 0 ∞ a m m ( m - 1 ) x m = a 0 ( 0 ) ( 0 - 1 ) x 0 + ∑ m = 1 ∞ a m m ( m - 1 ) x m

O primeiro termo é nulo, portanto, temos que

∑ m = 0 ∞ a m m ( m - 1 ) x m = ∑ m = 1 ∞ a m m ( m - 1 ) x m

Da mesma forma, podemos escrever para o segundo somatório que

∑ m = 0 ∞ a m m   x m = a 0 ( 0 ) x 0 + ∑ m = 1 ∞ a m m x m = ∑ m = 1 ∞ a m m x m

E, também que

∑ m = 0 ∞ a m x m = a 0 + ∑ m = 1 ∞ a m x m

Usando tudo isso, temos que a nossa equação diferencial toma a seguinte forma

2 ∑ m = 1 ∞ a m m ( m - 1 ) x m + 3   ∑ m = 1 ∞ a m m   x m - a 0 - ∑ m = 1 ∞ a m x m - ∑ m = 1 ∞ a m - 1 x m = 0

Evidenciando nossa soma e o termo com x m , temos que

- a 0 + ∑ m = 2 ∞ [ 2 a m m ( m - 1 ) + 3 a m m - a m - a m - 1 ] x m = 0

Consegue agora identificar como ficará a nossa recorrência? Saca só!

Passo 6

Para que ambos os lados da equação obtida no final do passo anterior sejam iguais é preciso que a 0 = 0 , e que

2 a m m ( m - 1 ) + 3 a m m - a m - a m - 1

Evidenciando a m temos que

a m [ 2 m ( m - 1 ) + 3 m - 1 ] - a m - 1 = 0

Como temos que

2 m ( m - 1 ) + 3 m - 1 = 2 m 2 - 2 m + 3 m - 1 = 2 m 2 + m - 1

Podemos evidenciar m novamente na equação acima e escrever

a m [ m ( 2 m + 1 ) - 1 ] - a m - 1 = 0

E, finalmente, a relação de recorrência será

a m = a m - 1 m ( 2 m + 1 ) - 1

Vamos expandir alguns termos e ver se obtemos alguma relação a mais entre os coeficientes! Vamos lá!

Passo 7

Primeiro, temos que para m = 1

a 1 = a 0 2 = 0

Pois temos que a 0 = 0 . Agora, para m = 2 , temos

a 2 = a 1 9 = a 0 9 ( 2 ) = 0

já que encontramos que a 1 = 0 . Continuando para m = 3 , temos que

a 3 = a 2 20 = a 0 20 ( 9 ) ( 2 ) = 0

Em que a recorrência permite escrever novamente em termos de a 0 . Note que isso vai acontecer para todo e qualquer a n . Ou seja, temos que a nossa solução é apenas a solução trivial uma vez que a 0 = 0 .

y = 0

Uma solução trivial! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Solução trivial y = 0 .