Exercícios Resolvidos de EDO de Ordem Superior

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Enunciado

Resolva o problema de valor inicial abaixo, expressando a solução em termos de uma convolução com a função g , a qual é uma função contínua arbitrária definida no intervalo [ 0 , ∞ ) :

y 4 - y = δ t - 1 + g t y j 0 = 0 ,       j = 0,1 , 2,3 .

Dica: 1 s 4 - 1 = 1 / 4 s - 1 - 1 / 4 s + 1 - 1 / 2 s 2 + 1

Passo 1

A primeira coisa a fazer é aplicar a transformada de Laplace:

L y 4 - y = L δ t - 1 + g t ⟹ L y 4 - L y = L δ t - 1 + L { g t }

Como:

L f n t s = s n L f t s - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - s f n - 2 0 - f n - 1 ( 0 )

Então:

L y 4 ( s ) = s 4 L y s - s 3 y 0 - s 2 y ' 0 - s y ' ' 0 - y ' ' ' ( 0 )

Já que as condições iniciais são nulas, sendo Y s = L y s :

L y 4 = s 4 Y ( s )

Além disso:

L δ t - 1 = e - s

E, chamamos:

L g t = G ( s )

Assim, tudo vai ficar:

s 4 Y s - Y s = e - s + G ( s )

Passo 2

Vamos agora isolar esse Y ( s ) afim de obter sua inversa:

Y s s 4 - 1 = e - s + G s ⟹ Y s = e - t + G s s 4 - 1

Separando isso aí:

Y s = e - s s 4 - 1 + G s s 4 - 1 = Y 1 s + Y 2 s

Separamos em duas para facilitar na hora de achar a inversa.

Passo 3

Temos que:

Y 1 s = e - s s 4 - 1

Pela dica da questão:

Y 1 s = e - s 1 / 4 s - 1 - 1 / 4 s + 1 - 1 / 2 s 2 + 1

Agora vamos achar a inversa disso. Temos que:

1 / 4 s - 1 = 1 4 ⋅ 1 s - 1

A fração à direita é a transformada de 1 deslocada uma unidade para à direita. Então:

L - 1 1 4 ⋅ 1 s - 1 = 1 4 e t

Da mesma forma:

L - 1 1 / 4 s + 1 = 1 4 e - t

Para a última, temos o seno:

L - 1 1 / 2 s 2 + 1 = 1 2 sen ⁡ ( t )

A exponencial de constante 1 que multiplica essas transformadas indica que a transformada inversa está deslocada e multiplicada por um degrau. Assim:

y 1 t = 1 4 e t - 1 - 1 4 e - t - 1 - 1 2 sen ⁡ t - 1 u ( t - 1 )

Passo 4

Agora vamos tentar achar a inversa da segunda parte, Y 2 ( s ) :

Y 2 s = G s s 4 - 1 = G s ⋅ 1 s 4 - 1

Vimos que:

1 s 4 - 1 = 1 / 4 s - 1 - 1 / 4 s + 1 - 1 / 2 s 2 + 1

E que a inversa disso é:

L - 1 1 / 4 s - 1 - 1 / 4 s + 1 - 1 / 2 s 2 + 1 = 1 4 e t - 1 4 e - t - 1 2 sen ⁡ t

Também sabemos que:

L - 1 G ( s ) = g ( t )

Então temos o produto de transformadas e sabemos a inversa de cada fato. Com isso, podemos achar a inversa desse produto usando o teorema da convolução:

y 2 t = L - 1 G s s 4 - 1 = ∫ 0 t 1 4 e τ - 1 4 e - τ - 1 2 sen ⁡ τ g t - τ d τ

Passo 5

Juntando tudo até agora:

L - 1 Y s = L - 1 Y 1 s + L - 1 Y 2 s = y 1 t + y 2 t =

1 4 e t - 1 - 1 4 e - t - 1 - 1 2 sen ⁡ t - 1 u t - 1 + ∫ 0 t 1 4 e τ - 1 4 e - τ - 1 2 sen ⁡ τ g t - τ d τ

O problema pediu para deixar a resposta na forma de uma integral convolução, então esse é o resultado.

Resposta

y t = 1 4 e t - 1 - 1 4 e - t - 1 - 1 2 sen ⁡ t - 1 u t - 1

+ ∫ 0 t 1 4 e τ - 1 4 e - τ - 1 2 sen ⁡ τ g t - τ d τ