Exercícios Resolvidos de EDO de Ordem Superior

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Enunciado

Determine uma base (com funções dadas em série) para o espaço de soluções das equações abaixo:

  1. y ' ' - x y ' - y = 0 , em - ∞ < x < ∞

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação diferencial e nos pede para determinar uma base para a equação diferencial naquele intervalo dado.

Obs: a base deve ser com funções dadas em série.

Mas como podemos fazer isso??

Uma forma é verificarmos a seguinte solução geral para esse tipo de equação e a partir dela, fazermos manipulações de acordo com a equação diferencial que nos foi dada.

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Agora bora resolver!!

Passo 2

Bom... aplicando a primeira e a segunda derivada na solução geral, temos:

y ' = d y d x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1  

y ' ' = d 2 y d x 2 = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Dessa forma, substituindo as soluções na equação original, temos:

y ' ' - x y ' - y = 0 ∴

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0 ∴

Do primeiro termo da expressão, podemos substituir n por n + 2 para igualar os expoentes de x :

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 x n

E do segundo termo, ao multiplicar x pelo somatório, temos:

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n a n x n

Dessa forma, temos a seguinte expressão:

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 3

Ainda precisamos fazer com que todos os somatórios comecem do mesmo valor de n .

Para isso, separamos os primeiros termos das séries que começam com n = 0 e obtemos:

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 x n

Também, temos:

∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n x n

Assim, substituindo os somatórios e unindo em seguida, temos:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - a 0 - ∑ n = 1 ∞ a n x n ∴

2 a 2 - a 0 + ∑ n = 1 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 - n a n - a n x n = 0

Passo 4

Para que a equação fique válida, devemos ter o seguinte sistema:

2 a 2 - a 0 = 0 n + 1 n + 2 a n + 2 - n a n - a n = 0

Da primeira equação, temos que:

a 2 = a 0 2

Da segunda equação, temos que:

a n + 2 = n a n + a n n + 1 n + 2 = a n n + 2

Passo 5

Dessa forma, encontrando alguns valores de a n em função de a 0 e a 1 :

  • Para n = 1 :
  • a 1 + 2 = a 1 1 + 2 ∴ a 3 = a 1 3

  • Para n = 2 :
  • a 2 + 2 = a 2 2 + 2 ∴ a 4 = a 2 8

  • Para n = 3 :
  • a 3 + 2 = a 3 3 + 2 ∴ a 5 = a 1 15

  • Para n = 4 :
  • a 4 + 2 = a 4 4 + 2 ∴ a 6 = a 0 48

    Dessa forma, observamos os seguintes padrões:

  • Para índices pares:
  • a 2 n = a 0 2 n ∙ n !  

  • Para índices ímpares:

a 2 n + 1 = a 1 2 n + 1 ! 2 n ∙ n !  

Juntando os dois resultados, temos a base resposta:

y t = ∑ n = 0 ∞ a 0 2 n ∙ n !   ∙ x 2 n + a 1 2 n + 1 ! 2 n ∙ n !   x 2 n + 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y t = ∑ n = 0 ∞ a 0 2 n ∙ n !   ∙ x 2 n + a 1 2 n + 1 ! 2 n ∙ n !   x 2 n + 1