Exercícios Resolvidos de Elutriador

Ver Teoria

Enunciado

Uma mistura de galena ( S G s = 7,5   ) e sílica ( S G s = 2,65   ) será submetida a elutriação gravitacional por uma corrente de água que escoa a uma velocidade de 0,02   f t / s na Temperatura de 65 ° F . A mistura tem 30% de massa de galena e a seguinte análise granulométrica com peneiras padronizadas:

Se a distribuição de tamanhos anterior se aplica tanto à galena quanto à sílica, pede-se:

  1. Calcule as percentagens ponderais da galena, originalmente presente na alimentação, que irão para o topo e fundo do elutriador.
  2. Calcule a fração ponderal de galena nessas correntes (base seca).

Passo 1

Nessa questão, precisamos encontrar o quanto de galena e sílica foi para o topo e fundo do elutriador, certo?

Mas como fazer isso a partir da distribuição de tamanho (DT) dada?

Nesse tipo de problema, já temos a velocidade e precisamos encontrar o diâmetro para cada amostra que acima dele a partícula vai para o fundo e abaixo dele a partícula vai para o topo! Isso tem que ser feito para cada um dos sólidos 😊 E depois relacionamos com a DT.

Vamos organizar os dados que a questão forneceu:

u ¯   = 0,02 f t s = 0,0061   m / s

Foi dado tanto o S G s da sílica quanto da galena, conseguimos achar o ρ s de cada uma.

S G s   g a l e n a = 7,5 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 7,5 . 10 3   k g / m 3

S G s   s í l i c a = 2,65 = ρ s ρ = ρ s 1000   k g m 3

ρ s   g a l e n a = 2,65 . 10 3   k g / m 3

Outra coisa, já que não foi dada a esfericidade e não temos como calcular, vamos assumir que a partícula é esférica e atende todas as restrições de stokes, beleza? E isso significa que podemos fazer mais uma simplificação:

d # = d s t k

Só mais uma coisinha, foi dado que a temperatura era de 65 ° F , então podemos pegar em tabelas as propriedades da água nessa temperatura:

ρ H 2 O = 1,937   s l u g f t 3 = 10 3 k g / m 3

μ H 2 O = 28,045 . 10 - 6   l b   s f t 3 = 1,055 . 10 - 3 k g / m s

Passo 2

Vamos começar então calculando o diâmetro de stokes para cada um dos materiais. Para isso, vamos isolar o diâmetro da fórmula de velocidade de stokes.

v t , s t k = d s t k 2 ρ s - ρ   g 18 μ

d s t k = 18   μ   v t , s t k   ρ s -   ρ g

E repara que só temos a velocidade do fluido, que é diferente da velocidade das partículas, mas sabemos que que elas tem a seguinte relação:

v t > u ¯   d a í   p a r t í c u l a   s e d i m e n t a v t < u ¯   d a í   p a r t í c u l a   é   a r r a s t a d a

Então se a gente achar o diâmetro de stokes para a partícula exatamente na velocidade do fluido, vamos saber que a partir daquele diâmetro ela vai descer e abaixo dele vai subir! Então, estamos estudando o caso que:

v t =   u ¯ = 0,02 f t s = 0,0061   m / s

Para a galena:

d s t k ,   g a l e n a = 18.1,055 . 10 - 3 . 0,0061   7500 -   1000 . 9,81 = 4,26 . 10 - 5 m = 42,62   μ m

Para a sílica:

d s t k ,   s í l i c a = 18.1,055 . 10 - 3   . 0,0061   2650 -   1000 .   9,81 = 8,46 . 10 - 5 m = 84,6   μ m  

Passo 3

Agora, vamos avaliar a distribuição de tamanho de partícula e relacionar com esses diâmetros que calculamos.

Lembra que como consideramos esféricas igualamos o diâmetro de stokes e da peneira, então não precisamos converter eles para compará-los! Então, o diâmetro da galena, 42,62   μ m ,fica ali entre 40 e 50   μ m . E o diâmetro da sílica, 84,6   μ m , fica entre 80 e 90   μ m .

Então, podemos fazer uma interpolação para descobrir o y ( % ) relativo a cada diâmetro.

Para a Galena:

40 - 50 67 - 77 =   40 - 42,6 67 - y g a l e n a ( % )

y g a l e n a % = 69,6

Para a Sílica:

80 - 90 91 - 93 =   80 - 84,6 91 - y s í l i c a ( % )

y s í l i c a % = 91,92

LEMBRETE: O valor de y representa a amostra menor que dado diâmetro então esse y está relacionado com as partículas que vão subir!

Passo 4

Agora, vamos assumir uma base mássica de cálculo.

m t o t a l = 1000 g

Como temos 30 % de galena, podemos definir a massa de galena e massa de sílica.

m   g a l e n a = 300   g

m   s í l i c a = 700   g

Então, vamos definir a massa de sílica e galena que é menor /maior que o diâmetro calculado para cada uma?

m   g a l e n a   t o p o = 300   . 69,6 100 = 208,8   g

m   g a l e n a   f u n d o = 300 - 208,8   g = 91,2   g

Fazendo da mesma forma para sílica:

m   s í l i c a   t o p o = 700   . 91,92 100 = 643,44   g

m   s í l i c a   f u n d o = 700 - 643,44   g = 56,56   g

Passo 5

Já calculamos quase tudo, então para resolver a letra a) precisamos definir a percentagem de galena (EM RELAÇÃO À ALIMENTAÇÃO) no topo e fundo.

G a l e n a   n o   t o p o     e m   r e l a ç ã o   a   a l i m e n t a ç ã o = 208,8 300 .   100 = 69,6   %

G a l e n a   n o   f u n d o     e m   r e l a ç a o   a   a l i m e n t a ç ã o = 91,2 300 .   100 = 30,4   %

Repara que a porcentagem no topo é o mesmo valor que calculamos do y , isso ocorre pois a curva y representa valores menores ( e tem a mesma densidade, já que estamos falando só da galena) que um dado diâmetro, então como são menores são mais leves e vão para o topo!!

Passo 6

Na letra b), precisamos calcular a fração ponderal de galena nas correntes de saída! Então, vamos calcular a massa total dessas saídas:

Então, a massa total do topo:

m t o p o = m   s í l i c a   t o p o + m   g a l e n a   t o p o = 643,44 + 208,08 = 851,52   g

E a do fundo:

m f u n d o = m   g a l e n a   f u n d o + m   s í l i c a   f u n d o = 56,56 + 91,92 = 148,48   g

Logo, bora calcular as percentagens de galena no topo e fundo!

G a l e n a   n o   t o p o   e m   r e l a ç ã o   à   c o r r e n t e   d o   t o p o = 208,08 851,52 .   100 = 24,44   %

G a l e n a   n o   f u n d o   e m   r e l a ç ã o   à   c o r r e n t e   d o   f u n d o = 91,92 148,48 .   100 = 61,9 %

Resposta

  1. G a l e n a   n o   t o p o   (   e m   r e l a ç ã o   a   a l i m e n t a ç ã o ) = 69,6   %

    G a l e n a   n o   f u n d o   (   e m   r e l a ç a o   a   a l i m e n t a ç ã o ) = 30,4   %

G a l e n a   n o   t o p o     e m   r e l a ç ã o   a   c o r r e n t e   d o   t o p o = 24,44   %

G a l e n a   n o   f u n d o     e m   r e l a ç ã o   a   c o r r e n t e   d o   f u n d o = 61,9 %