Exercícios Resolvidos de Elutriador

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Enunciado

Pretende-se tratar uma corrente industrial com 1   m 3 / s de ar a 100 ℃ e 1   a t m contendo finos de carvão (densidade: 1,95   g / c m 3 e esfericidade: 0,8 ), utilizando-se o seguinte sistema (elutriador e câmara de poeira em série):

Sabendo-se que o elutriador captura todas as partículas maiores que 200 µ m e que a eficiência de separação de uma partícula de 80 µ m   na câmara de poeira é igual a 80 % , pede-se:

  1. O diâmetro do elutriador e sua eficiência total de separação.
  2. A eficiência total de separação da câmara de poeira.
  3. A eficiência global do processo.

Dados:

µ a r   ( 100 ° C   e   1   a t m )   =   0,021 c P

e

  y = d 446 0,8   c o m   d   e m   µ m .  

Dica: Uma suspensão que passa por um equipamento de separação tem, obviamente, sua distribuição de tamanhos de partícula alterada, uma vez que o equipamento irá capturar parte das partículas presentes, preferencialmente as mais grossas. Se o separador é ideal e a distribuição granulométrica é dada pelo modelo GGS, o único parâmetro do modelo que sofre alteração é o tamanho da maior partícula presente, isto é, o k muda e o m não.

Passo 1

Temos dois equipamentos em série, um elutriador e uma câmara de poeira, sendo que o overflow do elutriador é que vai pra a câmara de poeira.

As duas primeiras perguntas do enunciado focam nos equipamentos em separado, já o último item pede a eficiência global, daí vamos ter que usar:

E T c o n j u n t o = ∫ 0 1 G c o n j u n t o     d y 1

Com:

G c o n j u n t o = G 1 + 1 - G 1 . G 2

Em que " 1 " é o elutriador e " 2 " a câmara de poeira.

AHH! Uma coisa importante: o enunciado NÃO deu a densidade do gás, mas deu as condições dele

100 ° C e 1 atm

Assumindo gás ideal, vale:

p V = N R T

Podemos escrever o número de moles como N = m M M - , com m sendo massa de gás e M M - sendo a massa molecular média. Rearranjando:

m V = ρ = p . M M - R . T

Trabalhando no CGS e usando T em Kelvin:

ρ = 1.29 82.373 = 9,48 . 10 - 4 g c m 3  

Passo 2

a) O diâmetro do elutriador e sua eficiência total de separação.

Nos foi informado que o elutriador deverá capturar todas as partículas maiores que 200   µ m . Daí, vamos analisar o limite, que é a partícula de 200   μ m . Para ela: v t = u -

Daí, achando v t , achamos u - . Como:

u - = Q A

Com Q sendo a vazão volumétrica e A a área transversal do elutriador.

Poderemos achar o diâmetro do elutriador, já que temos

Q = 1     m 3 / s .

Ok! Então bora encontrar v t . Vamos ter que usar as correlações de Coelho e Massarani. Como temos d e queremos v t :

C D R e p 2 = 4 ρ S - ρ ρ g d 3 3 μ 2

Usando tudo no CGS:

C D R e p 2 = 4 . 1,95 - 9,48 . 10 - 4 . 9,48 . 10 - 4 . 981 . 200 . 10 - 4 3 3 . ( 0,021 . 10 - 2 ) 2

C D R e p 2 = 438,4

Agora, para achar R e p , usamos:

R e p = 24 k 1 C D R e p 2 1,2 + k 2 C D R e p 2 0,6 - 0,83

Mas, primeiro, temos que calcular k 1 e k 2 , que ainda não temos. O enunciado deu que a esfericidade vale 0,8 .

k 1 = 0,843 . log ⁡ Φ 0,065 = 0,843 . log ⁡ 0,8 0,065 = 0,919

k 2 = 5,31 - 4,88 . Φ = 1,406

Voltando:

R e p = 24 0,919 . 438,4 1,2 + 1,406 438,4 0,6 - 0,83 = 9,57

Usando a definição de Reynolds:

R e p = ρ . v t . d μ

9,57 = 9,48 . 10 - 4 . v t . 200 . 10 - 4 0,021 . 10 - 2

v t = 106,0 c m s

Passo 3

Agora que temos v t e sabemos que

v t = u -

Podemos determinar o diâmetro do elutriador:

u - = Q A = Q π 4 . D 2

Usando Q no CGS, também, pra compatibilizar as unidades:

Q = 1 . 10 6   c m 3 s

Daí:

106,0 = 1 . 10 6   π 4 . D 2

D = 109,6   c m   ≈ 110   c m

Passo 4

Ainda falta calcular a eficiência total no elutriador, mas, antes, a gente tem que ver G . No elutriador vale:

G = 0   s e   d < d c G = 1   s e   d > d c

E, nessa questão:

d c = 200   μ m

Agora, pra achar a eficiência total, temos que integrar:

E T = ∫ 0 1 G     d y

E repara duas coisas:

1. A integral é em termos de y e NÃO de d , daí temos que determinar o y do d c , que será o divisor dos intervalos

2. G é definida em dois intervalos, daí a integral também terá de ser dividida

Vamos um por um então. Usando a equação de y fornecida:

y = d 446 0,8

Para d = d c = 200   μ m

y = 200 446 0,8

y = 0,53

Daí ficamos com:

G = 0   s e   y < 0,53 G = 1   s e   y > 0,53

E a integral fica:

E T = ∫ 0 0,53 0   d y + ∫ 0,53 1 1   d y

E T = 0 + 1 - 0,53

E T = 0,47

Passo 5

b) A eficiência total de separação da câmara de poeira.

Agora partimos pra câmara de poeira. Vamos com calma. Primeiro de tudo, bora lembrar a definição de eficiência:

E f i c i ê n c i a = c o l e t a d o   n o   c o n c e n t r a d o e n t r a d a

Massss essa entrada aí é a entrada do equipamento. O que entra na câmara de poeira NÃO é o que entra lá no começo e sim o que NÃOOOO foi coletado no elutriador, isto é:

e n t r a d a   C P = 1 - E T e l u t r i a d o r

Como E T e l u t r i a d o r = 0,47 , o que entra na câmara é 53 % do alimentado inicialmente.

e n t r a d a   C P = 0,53

E com isso achamos o denominador.

E f i c i ê n c i a = c o l e t a d o   n o   c o n c e n t r a d o 0,53

Para achar o numerador, teremos que ver quanto é coletado a câmara de poeira. Usando a mesma equação pra y , o que vai mudar são os limites de integração pois na câmara de poeira só estão entrando partículas entre 0   μ m e 200   μ m , certo? As maiores de 200   μ m já foram coletadas no elutriador.

Em termos de y , isso fica:

y = 200 446 0,8

y = 0,53

Daí a entrada da câmara de poeira compreende:

0 ≤ y < 0,53

E para achar o que captura nela ( E T ) , é só integrar G em y , usando a equação de y original, mas usando esses limites aí:

E T = ∫ 0 0,53 G   d y

Mas, antes, temos que saber quem é o G , certo?

Para câmara de poeira, vale:

G = L . v t H . u   p a r a   d ≤ d 100 G = 1   p a r a   d > d 100

Não temos nenhuma informação das dimensões da câmara e o exercício não é de dimensionamento... NÃO é conveniente trabalhar com essas equações, dessa forma; é melhor trabalhar com ela adimensional:

G = 0,5 . d d 50 2   p a r a   d ≤ d 100 G = 1   p a r a   d > d 100

O que sabemos é que a eficiência de separação de uma partícula de 80   µ m   na câmara de poeira é igual a 80 % . Repara que ele está falando de G , pois amarrou eficiência para um dado diâmetro.

  d = 80   μ m   ∴ G = 0,8

Usando a equação de G para d = 80   μ m , conseguimos achar d 50 :

G = 0,5 . d d 50 2

0,8 = 0,5 . 80 d 50 2

d 50 = 63,3   μ m

Mas os limites de G envolvem d 100 , né? Precisamos achá-lo. Vimos, na teoria, que usando essa fórmula aí de G dá pra chegar em:

d 100 = 2 . d 50

Daí:

d 100 = 89,4   μ m

Portanto:

G = 0,5 . d 63,3 2   p a r a   d ≤ 89,4 G = 1   p a r a   d > 89,4

Em termos de y :

y = 89,4 446 0,8

y = 0,28

G = 0,5 . d 63,3 2   p a r a   y ≤ 0,28 G = 1   p a r a   y > 0,28

Passo 6

Agora é só integrar. Como G está definida em dois intervalos, dividimos a integral em dois intervalos também:

E T ' = ∫ 0 0,53 G . d y

E T ' = ∫ 0 0,28 0,5 . d 63,3 2   d y + ∫ 0,28 0,53 1   d y

Repara que ainda temos que colocar d em função de y . Estamos considerando y da alimentação original o tempo todo então é ele que vamos usar agora também:

y = d 446 0,8

y 1 0,8 = d 446

d = 446 . y 1,25

Daí:

E T ' = ∫ 0 0,28 0,5 . 446 . y 1,25 63,3 2 d y + ∫ 0,28 0,53 1   d y

Integrando:

E T ' = 8,24 . 10 - 2 + 0,53 - 0,28

E T ' = 0,332

E esse é o numerador! Repara que chamei de E T ' e não de E T . Esse valor é quanto da alimentação original é capturado na câmara de poeira, mas o enunciado pede qual a eficiência da câmara de poeira, dai, quanto é capturado nela em relação ao que entra nela. Voltando pra fórmula que vimos no outro passo:

E f i c i ê n c i a   C P = c o l e t a d o   n o   c o n c e n t r a d o 0,53

E f i c i ê n c i a   C P = 0,332 0,53 = 0,63

Eu prefiro seguir por esse caminho que eu fiz, mudando os limites de integração e mantendo a expressão de y , mas outra opção seria usar aquela dica do enunciado e mudar a expressão de y , mantendo os limites 0 e 1 .

Passo 7

c) A eficiência global do processo.

Já temos as eficiências totais e por tamanho de cada equipamento, mas agora temos que calcular a eficiência global do processo. Pra isso, é só usar:

E T c o n j u n t o = ∫ 0 1 G c o n j u n t o   d y 1

Com:

G c o n j u n t o = G 1 + 1 - G 1   G 2

O lance é que vamos ter que dividir em intervalos porque os G ’s estão definidos em intervalos.

Bora começar lembrando G 1 :

G 1 = 0   s e   y < 0,53 G 1 = 1   s e   y > 0,53

Ou seja, para 0,53 ≤ y ≤ 1 :

G c o n j u n t o = 1

Para y > 0,53 :

G 1 = 0

G c o n j u n t o = G 2

E vimos que   G 2 :

G = 0,5   d 63,3 2   p a r a   y ≤ 0,28 G = 1   p a r a   y > 0,28

Daí a integral fica:

E T c o n j u n t o = ∫ 0 1 G c o n j u n t o   d y 1

E T c o n j u n t o = ∫ 0 0,28 0,5 . d 63,3 2   d y 1 + ∫ 0,28 0,53 1   d y 1 + ∫ 0,53 1 1   d y 1

E T c o n j u n t o = 8,24 . 10 - 2 + 0,53 - 0,28 + 1 - 0,53

E T c o n j u n t o = 0,80

Resposta

  1. D ≈ 110   c m e E T = 0,47
  2. E f i c i ê n c i a   C P = 0,63
  3. E T c o n j u n t o = 0,80