Exercícios Resolvidos de Equação da Continuidade

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de escoamento incompressível tem os componentes cilíndricos v θ = C r , v z = K R 2 - r 2 , v r = 0 , em que C e K são constantes e r R , z L . Esse escoamento satisfaz a continuidade? O que ele pode representar fisicamente?

Passo 1

De novo um escoamento incompressível, logo ρ = c o n s t a n t e .

E mais uma vez aplicaremos o campo de velocidade a Equação da Continuidade, dessa vez na sua forma polar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos pelo enunciado que:

v r = 0

v θ = C r

v z = K ( R 2 - r 2 )

Aplicando na Equação da Continuidade:

ρ t + 1 r r ρ r v r + 1 r θ ρ v θ + z ρ v z = 0

Sabemos também que

ρ t = 0

O que reduz a nossa equação aos seguintes termos, já dividindo a equação por ρ = c o n s t a n t e

1 r ( r v r ) r + 1 r v θ θ + v z z = 0

Passo 3

Agora só nos resta realizer as derivações

( r v r ) r = ( r × 0 ) r = 0

v θ θ = ( C r ) θ = 0

v z z = z K R 2 - r 2 = 0

Substituindo na equação:

1 r × 0 + 1 r × 0 + 0 = 0

0 = 0

Passo 4

Esse escoamento pode representa um escoamento circular dentro de um tubo cilíndrico de raio R e altura L que está em movimento circular.

No centro do cilindro o fluido não rotaciona ( v θ 0 = 0 ), apenas move-se no sentido z , com velocidade v z ( 0 ) = K R ² . Na parede do cilindro v z ( R ) = 0 e v θ ( R ) = C R , adiante veremos que isso tem o nome de hipótese do não escorregamento na parede e podemos concluir que o cilindro está rotacionando com velocidade C R .

Resposta

Esse escoamento pode representa um escoamento circular dentro de um tubo cilíndrico de raio R e altura L que está em movimento circular.

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