Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

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Enunciado

13) Determine quais das funções abaixo é uma solução de

x 2 y ' ' - 5 x y + 9 y = 0

a) y = x 3

b) y = 1 x 3

c) y = x 3 ln ⁡ x

d) y = x 2 ln ⁡ x

e) y = 1 x 3 ln ⁡ x

Passo 1

Falaaa... Tudo bem??

Nessa questão precisamos dizer quais das funções é uma solução da equação diferencial.

Essa equação diferencial não é uma qualquer não. Ela é equação de Euler, que tem o formato:

L y = x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0

Pra esse tipo nós supomos que a solução tenha o formato:

y = x r

Então:

L x r = x 2 x r ' ' + α x x r ' + β x r

= x r r r - 1 + α r + β

Se r é raiz da equação de segundo grau

F r = r r - 1 + α r + β = 0

Então L [ x r ] é zero e y = x r   é uma solução da equação de Euler.

Temos três casos diferentes para as raízes da equação de segundo grau:

- se as raízes forem reais e distintas, a solução geral é:

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2

- se as raízes forem reais e iguais, a solução geral é:

y = c 1 + c 2 ln ⁡ x x r 1

- se as raízes forem complexas, do tipo r = λ ± i μ , a solução é:

y = c 1 x λ cos ⁡ ( μ ln ⁡ x ) + c 2 x λ sen ⁡ μ ln ⁡ x

Passo 2

Para a nossa questão temos:

x 2 y ' ' - 5 x y + 9 y = 0

Então:

α = - 5

β = 9

E ficamos com a equação do segundo grau:

r r - 1 + α r + β = 0

r r - 1 - 5 r + 9 = 0

Achando as raízes:

r 2 - r - 5 r + 9 = 0

r 2 - 6 r + 9 = 0

r - 3 2 = 0

r = 3

Temos duas raízes reais e iguais, então vamos ter a solução com a carinha:

y = c 1 + c 2 ln ⁡ x x 3

Agora é só dar uma olhada nas opções e ver o que bate com a resposta.

Podemos supor valores de c 1 e c 2 que sejam convenientes.

Por exemplo, se c 1 = 0 e c 2 = 1 , ficamos com:

y = x 3 ln ⁡ x

Oh... a letra c, então é uma possível solução.

Também podemos ter c 1 = 1 e c 2 = 0 e ficamos com:

y = x 3

A letra a também é uma possível solução, né?

Não tem mais nenhuma letra que se encaixe na solução.

Boaaa... matamos mais uma. Bora pra próxima?

Resposta

A e C

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