Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

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Enunciado

A expansão em série de potências em torno de 0 da solução de y ' ' - x y = 0 ,     x   ∈   R , com as condições inicias y 0 = 1 e y ' 0 = 0 , é

y x = _ _ _ +   _ _ _ x 3 + _ _ _ x 6 +

Obs: a resposta deve ser expressa na forma decimal com um erro máximo de 0,0005.

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

Nossa missão aqui é resolver a equação diferencial dada y ' ' - x y ' = 0 , sabendo que:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Então, também podemos escrever y ' x e y ' ' x :

y ' x = ∑ n = 1 ∞ a n n x n - 1

E

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x n - 2

Agora temos os termos necessários, vamos reescrever a equação diferencial com eles:

∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x n - 2 - x ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Desenvolvendo:

∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Passo 2

Agora temos que deixar todos os x n + 1 dentro dos somatórios, mudando o índice. Começando com:

∑ n = 2 ∞ a n n ( n - 1 ) x n - 2   →   ∑ n = - 1 ∞ a n + 3 n ( n + 3 ) ( n + 2 ) x n + 1

Esse era o único que precisava ser mudado, repara que dessa vez temos o n começando cem um cara negativo, não precisa se preocupar com isso, esse n pode ser negativo neste caso porque quando substituirmos no somatório não vai dar problema nenhum.

Assim, a nossa EDO vai ficar:

∑ n = - 1 ∞ a n + 3 n ( n + 3 ) ( n + 2 ) x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Precisamos deixar todos os inícios no mesmo lugar, vamos começar todas com n = 0 .

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 n ( n + 3 ) ( n + 2 ) x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0

Juntando os somatórios temos:

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ a n + 3 n + 3 n + 2 - a n x n + 1 = 0

Isso nos diz que

2 a 2 = 0

Além disso temos a relação de recorrência

a n + 3 n + 3 n + 2 - a n

Vamos ter a n + 3 = a n n + 3 n + 2

Com n = 0,1 , 2 , …

Passo 3

Belezaa, continuando, vamos ver o que temos com as condições iniciais.

y 0 = 0   →   a 0 = 1

y ' 0 = 0   →   a 1 = 0

  a 2 = 0

Vamos usar a relação de recorrência agora

n = 0   →   a 3 = a 0 3 * 2 = 1 6 = 0,16666

n = 3   →   a 6 = a 3 6 * 5 = 0,16666 30 = 0,005555

Prontinhoo, encontramos que a expansão da série em potência é

y x = 1 + 0,16666   x 3 + 0,05555   x 5 + …

E aí, curtiu a resolução? Responde Aí

Resposta

y x = 1 + 0,16666   x 3 + 0,05555   x 5 + …

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