Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

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Enunciado

Encontre o valor de δ de modo que a solução do problema de valor inicial abaixo permaneça limitada quando t → 0 .

t 2 y ' ' - 2 y = 0 y 1 = 1   e   y ' 1 = δ

Passo 1

Fala, pessoal!! Como a EDO é da forma ∑ t n y n = 0 (Equação de Euler), buscamos soluções da forma y = t r , tal que:

y ' ' = r 2 t r - 2

Na EDO:

t 2 r 2 t r - 2 - 2 t r = r 2 - 2 t r = 0  

Para t ≠ 0 , teremos, pois, r 2 - 2 = 0 ∴ r = ± 2 . Assim, a solução geral da EDO é dada por:

y = A t 2     + B t - 2

Passo 2

Tomando as condições iniciais:

y 1 = A + B = 1 y ' 1 = 2 A - 2 B = δ

Resolvendo o sistema:

A = 1 2 + 2 δ 4   e   B = 1 2 - 2 δ 4  

Contudo, repare que quando t → 0 , t - 2 diverge, para evitar isso, fazemos B = 0 , donde resulta:

δ = 2                         e                                     y = t 2

Resposta

δ = 2

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