Exercícios Resolvidos de Equação de Euler de Ordem Superior

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON Education do Brasil, 2007, pp. 284 - 19

Resolva a seguinte EDO:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0

Passo 1

Primeira coisa a ser feita é perceber que isso é uma equação de Euler. Então vamos supor a solução da forma:

y = x r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando as derivadas:

d y d x = r x r - 1

d 2 y d x 2 = r r - 1 x r - 2

d 3 y d x 3 = r r - 1 r - 2 x r - 3

Passo 3

Substituindo na EDO temos:

x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0

x 3 r r - 1 r - 2 x r - 3 - 2 x 2 r r - 1 x r - 2 - 2 x r x r - 1 + 8 x r = 0

Ajeitando:

x r r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Portanto, temos de resolver:

r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Passo 4

r 3 - 5 r 2 + 2 r + 8 = 0

Como encontrar as raízes dessa equação??!

Vamos ver alguns candidatos a raízes dessa equação.

Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1 , vamos chamar isso de a

a = 1

Qual o valor do cara sem a variável r ? Vai ser 1 , vamos chamar isso de b

b = 8

As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.

Nesse caso, os divisores de b são: ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8   .Os divisores de a são ± 1 . Logo as possíveis raízes são:

r = ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8  

Passo 5

Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0 , se der 0 o valor de r é raiz, se não der 0 ele não é raiz.

Testando cada um desses números, verificamos que - 1 ,   + 2 , + 4 são raízes. Tivemos sorte, porque apenas procurando entre esses valores já encontramos todas as raízes da equação. Caso encontrássemos apenas uma raiz, o próximo passo seria utilizar o método de briot-ruffini para encontrar as outras raízes.

Enfim temos as raízes:

r 1 = - 1

r 2 = + 2

r 3 = + 4

Passo 6

Como as raízes são distintas a solução fica:

y h = c 1 x - 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4

Resposta

y h = c 1 x - 1 + c 2 x 2 + c 3 x 4

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