Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

Passo 1

A primeira coisa que o problema pede é pra identificarmos se estamos lidando com uma equação de Ricatti. A equação já está no formato perfeito.

y ' = 9 + 6 y + y 2

a x = 1 ,     b x = 6 ,     c x = 9

É com toda a certeza uma equação de Ricatti, mas para resolvermos vamos precisar de uma solução particular que ele não deu. Sem problema, vamos encontrar uma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pensa comigo, se tivéssemos como solução uma constante, y p = c , a derivada dela seria 0 e teríamos.

0 = 9 + 6 c + c 2

Isso é uma equação de segunda ordem que nós sabemos resolver de olhos fechados

c = - 3

Passo 3

Já temos a nossa solução particular e podemos agora fazer uma mudança de variável.

z = y - y p = y + 3

d z d x = d y d x

Aplicando na nossa equação.

z ' = 9 + 6 z - 3 + z - 3 2

z ' = 9 + 6 z - 18 + z 2 - 6 z + 9 = z 2

z ' = z 2

Passo 4

A ideia agora seria resolver isso como se fosse uma equação de Bernoulli, mas nós demos muita sorte e podemos resolver como separável.

1 z 2 d z = d x

- 1 z = x + D

z = - 1 x + D

Voltando para a variável y .

y + 3 = - 1 x + D

Tomando D = - C

y = - 3 + 1 C - x

Resposta

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