Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

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Enunciado

A taxa com que uma gota esférica se evapora ( d V / d t ) é proporcional a sua área. Determine o raio r da gota em função do tempo, supondo que no instante t = 0 o seu raio é r 0 e que em uma hora seu raio seja a metade (lembrando que V o l . = ( 4 / 3 ) π r 3 e á r e a = 4 π r 2 ).

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Aqui temos um problema de modelagem utilizando equações diferenciais, o enunciado nos indica tudo que precisamos para resolver este problema! Primeiro indica que a taxa com que a gota evapora é proporcional a área superficial da gota, ou seja, temos que

d V d t = 4 π   C   r 2

em que C é uma constante de proporcionalidade! O enunciado também nos dá uma condição inicial sobre o raio, sendo esta

r 0 = r ( t = 0 )

O que a questão nos pede é a função r ( t ) . A primeira coisa que precisaremos fazer é escrever uma equação diferencial para o raio! A relação dada entre a variação do volume e a área superficial é a nossa salvação! Vamos começar daqui!

Passo 2

O enunciado nos dá a relação

d V d t = 4 π   C   r 2

usando que V = ( 4 / 3 ) π r 3 , podemos escrever que

4 3 π d d t [ r 3 ] = 4 π   C   r 2

simplificando algumas constantes em comum dos dois lados, temos

d d t [ r 3 ] = 3   C   r 2

O lado esquerdo aqui é o segredo! Como temos que o raio é uma função do tempo, precisamos usar a regra da cadeia para escrever

d d t [ r 3 ] = d d r [ r 3 ] d d t [ r ]

Lembra como fazer esta derivada? Vamos para o próximo passo!

Passo 3

A derivada pode ser resolvido pela regra do tombo, temos que

d d t [ r 3 ] = 3 r 3 - 1 d d t [ r ] = 3 r 2 d r ( t ) d t

Ou seja, a nossa equação diferencial é simplesmente

3   r 2 d r ( t ) d t = 3   C   r 2

Simplificando os termos em comum, temos então que

d r ( t ) d t = C

que é a equação diferencial que rege a diminuição do raio da gota, e indica que o raio diminui de maneira constante. Na verdade, por enquanto nada indica que o raio está diminuindo, mas tendo em vista que a gota está evaporando, espera-se que a constante acima seja negativa! Vamos ver se isso é verdade!

Passo 4

Vamos tentar resolver a equação diferencial, temos que ela é separável, e portanto, pode ser escrita como

d r ( t ) = C   d t

integrando dos dois lados, lembrando que para t = 0 , temos r 0 , obtemos

∫ r 0 r ( t ) d r ( t ) = C ∫ 0 t d t

Temos aqui integrais de infinitesimais, portanto, podemos apenas avaliar os limites diretamente da seguinte maneira

r ( t ) - r 0 = C ( t - 0 )

obtemos então que o raio evoluí como

r ( t ) = r 0 + C t

Mas ainda falta a constante de proporcionalidade. O enunciado nos afirma que após 1 hora, temos que r ( t ) = r 0 / 2 . Vamos usar isso!

Passo 5

Se usarmos que r ( t = 1 ) = r 0 / 2 , obtemos

r 0 / 2 = r 0 + C

Isolando a constante de proporcionalidade, temos que

C = r 0 / 2 - r 0 = - r 0 / 2

E a função do raio é tal que

r ( t ) = r 0 - r 0 2 t = r 0 [ 1 - t / 2 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r ( t ) = r 0 [ 1 - t / 2 ]

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