Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 27

Considere a EDO y ' - x y 2 + 2 x - 1 y = x - 1 . Encontre uma solução constante para ela e determine sua solução geral.

Passo 1

O problema pediu para encontrarmos uma solução constante para então procurar a solução geral. OK, vamos então supor solução

y = C .

Para determinar o valor de C , substituímos na EDO: C ' - x C 2 + 2 x - 1 C = x - 1

- C 2 x + 2 C x - 1 = x - 1

- C 2 + 2 C x = 1 x

Comparando os dois lados, temos que:

- C 2 + 2 C = 1 C 2 - 2 C + 1 = 0

Essa equação está na forma do quadrado perfeito, portanto: C 2 - 2 C + 1 = C - 1 2 C = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora que achamos C , como que encontramos a solução geral do problema? Repara lá que reorganizando a nossa EDO teremos:   y ' - x y 2 + 2 x - 1 y = x - 1

y ' = x y 2 + 1 - 2 x y + x - 1

Que é uma EDO de Riccati, pois está no formato: y ' = P x y 2 + Q x y + R x

Para resolver esse tipo de EDO, precisamos de uma solução particular, que no caso é a solução constante y = 1 que acabamos de encontrar. Com essa solução, definimos a variável:

z y - y p = y - 1

A ideia é substituir z na EDO original. Vamos escrever tudo em função dessa variável então: y ' z ' = y - 1 ' = y ' y ' = z '

y 2 z = y - 1 y = z + 1 y 2 = z + 1 2 = z 2 + 2 z + 1

y z = y - 1 y = z + 1

Com tudo pronto, substituímos: z ' = x z 2 + 2 z + 1 + 1 - 2 x z + 1 + x - 1

z ' = x z 2 + 2 x z + x + z + 1 - 2 x z - 2 x + x - 1

Simplificando, vai ficar: z ' = x z 2 + z

z ' - z = x z 2

E essa vai ser a nova EDO.

Passo 3

OK, mas como nossos problemas melhoraram? Bem a nova EDO está na forma

z ' + P x z = Q x z α

Com α 0 1 . Portanto, está na forma da EDO de Bernoulli. Então vamos seguir o passo a passo deste tipo de EDO para resolver o problema, vamos lá?

Começamos dividindo tudo por z α = z 2 :

z - 2 z ' - z z - 2 = x z 2 z - 2

z - 2 z ' - z - 1 = x

Agora definimos u z 1 - α = z - 1 . Para substituir, derivamos usando a regra da cadeia: u ' = - z - 2 z '

Assim, teremos: - u ' - u = x

u ' + u = - x

Passo 4

OUTRA EDO, NÃO ACABA NUNCA?! Calma, calma, agora vai! Essa é uma EDO LINEAR, pois temos:

u ' - A x u = B x

Ou seja, a solução será na forma: u x = 1 I x B x I x d x + C

Em que I x é o fator integrante, que no caso vai ser: I x = e A x d x = e d x = e x A integral então vai ser:

B x I x d x = - x e x d x

Para resolver essa integral, usamos integração por partes com:

u = - x v = e x d u = - d x d v = e x d x

- x e x d x = - x e x + e x d x

B x I x d x = - x e x + e x = e x 1 - x

Ou seja, nossa solução em u vai ser:

u x = 1 e x e x 1 - x + C = 1 - x + C e - x

Passo 5

Essa é a solução final? Não! Temos que voltar para z e então ir para y agora. Vimos que: u = z - 1 = 1 z

Assim, teremos: z = 1 1 - x + C e - x

Finalmente, voltamos para y . Pela definição: z = y - 1

Assim, teremos: y = 1 + z

y = 1 + 1 1 - x + C e - x

Agora sim, temos a solução geral!

Resposta

y = 1 + 1 1 - x + C e - x

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