Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

Exercício nº 25 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular

d y d x = 2 x 2 + 1 x y - 2 y 2 ,           y 1 = x

Passo 1

Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati

y ' = - 2 y 2 + 1 x y + 2 x 2

Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z + x

z + x ' = - 2 z + x 2 + 1 x z + x + 2 x 2

z ' + 1 = - 2 z 2 + 2 z x + x 2 + z x + 1 + 2 x 2

z ' = - 1 - 2 z 2 - 4 z x - 2 x 2 + z x + 1 + 2 x 2

z ' + 4 x - 1 x z = - 2 z 2

Que é de Bernoulli.

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' + 4 x - 1 x z = - 2 z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 + 4 x - 1 x z z 2   = - 2 z 2 z 2

z - 2 z ' + 4 x - 1 x z - 1 = - 2

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' + 4 x - 1 x u = - 2

u ' - 4 x - 1 x u = 2

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' - 4 x - 1 x u = 2

Calculando I x

- 4 x - 1 x d x = - 4 x 2 2 + ln x = - 2 x 2 + ln x

Então I x = e - 2 x 2 + ln x = e - 2 x 2 .   e ln x = x e - 2 x 2

Calculando I x . B x d x

x e - 2 x 2 . 2 d x = 2 x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral temos que separa em dois casos, quando x 0 e quando x < 0 . Vamos começar resolvendo para x 0 , isso nos diz que

x = x

2 x e - 2 x 2 d x = 2 x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples a = 2 x 2 fazendo as contas vocês acham

2 x e - 2 x 2 d x = - 2 e - 2 x 2 4 = - e - 2 x 2 2

Então a solução em u é (Lembra que estamos fazendo x > 0 , tudo que tem x fica x ):

u = 1 x e - 2 x 2 - e - 2 x 2 2 + C 1 = - 1 2 x + C 1 e 2 x 2 x

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = - 1 2 x + C 1 e 2 x 2 x = - 1 + 2 C 1 e + 2 x 2 2 x

z = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z + x

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x

Passo 7

Devemos agora fazer essa conta toda para x < 0 , isso implica que sempre que tivermos x ele vai passar a ser x

Então I x = e - 2 x 2 + ln x = e - 2 x 2 .   e ln x = x e - 2 x 2 = - x e - 2 x 2

Calculando I x . B x d x

- x e - 2 x 2 . 2 d x = - 2 x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples a = 2 x 2 fazendo as contas vocês acham

- 2 x e - 2 x 2 d x = 2 e - 2 x 2 4 = e - 2 x 2 2

Então a solução em u é:

u = 1 - x e - 2 x 2 e - 2 x 2 2 + C 2 = - 1 2 x - C 2 e 2 x 2 x

Passo 8

Voltando para a variável z

z - 1 = - 1 2 x - C 2 e 2 x 2 x = - 1 - 2 C 2 e + 2 x 2 2 x

z = 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2

Passo 9

Voltando para a variável y

y = z + x

y = 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2 + x

Passo 10

A função vai ficar

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x , x 0 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2 + x , x < 0

Resposta

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x , x 0 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2 + x , x < 0

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