Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 10, Questão 23

Nos exercícios 23 a 26 identifique as equações do tipo Ricatti e se é conhecida uma solução particular y 1 , resolva-a. [lembrando, tipo Ricatti: y ' = a x y 2 + b x y + c ( x ) ]

23 .   y ' = x + y 2 ,     y 1 = - x + tan x

Passo 1

Bom, a primeira coisa que você tem que fazer é verificar se a equação é do tipo Ricatti ou não. Ele deu a forma certinha desse tipo de equação ali no enunciado, tem que ser assim:

y ' = a x y 2 + b x y + c x

Nossa EDO é a seguinte:

y ' = x + y 2

y ' = y 2 + 2 x y + x 2

Identificando os termos:

a x = 1 b x = 2 x c x = x 2

Show!!! Ela está do jeitinho que esperávamos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que a gente já sabe que é uma equação do tipo Ricatti, vamos resolvê-la.

Para fazer isso, você precisa introduzir uma variável:

z = y - y 1

Sendo que esse y 1 é uma solução particular. No nosso caso, já foi dada essa solução. Então:

y 1 = - x + tan x

z = y - - x + tan x

y = z - x + tan x

Derivando ambos os lados com respeito a x :

y ' = z ' - 1 + sec 2 x

Passo 3

Bom, agora a gente substitui esta relação na EDO:

y ' = y 2 + 2 x y + x 2

z ' - 1 + sec 2 x = z - x + tan x 2 + 2 x z - x + tan x + x 2

Como temos z - x + tan x 2 , podemos considerar z - x + tan x 2 , e aí as contas ficam:

z ' - 1 + sec 2 x = z - x 2 + 2 z - x tan x + tan 2 x + 2 x z - 2 x 2 + 2 x tan x + x 2

z ' - 1 + sec 2 x = z 2 - 2 x z + x 2 + 2 z tan x - 2 x tan x + tan 2 x + 2 x z - 2 x 2 + 2 x tan x + x 2

z ' - 1 + sec 2 x = z 2 + 2 z tan x + tan 2 x

Lembrando que:

sen 2 x + cos 2 x = 1

tan 2 x = sec 2 x - 1

Então:

z ' = z 2 + 2 z tan x

Passo 4

Bom, agora caímos numa EDO do tipo Bernoulli [lembrando que uma equação do tipo Bernoulli é z ' + p x z = q ( x ) z n ]. Vamos resolvê-la! Reescrevendo nossa EDO para ficar daquele jeito:

z ' - 2 tan x z = z 2

z ' z 2 - 2 tan x 1 z = 1

Chamando

u = z 1 - 2 = z - 1

d u d x = - 1 z 2 d z d x z ' z 2 = - u '

Substituindo na EDO:

- u ' - 2 tan x u = 1

u ' + 2 tan x u = - 1

AEEEEE finalmente!!! Agora ficou mais bonitinho. Vamos resolver do jeitinho que já vimos.

Passo 5

Sabendo que nossa EDO é linear de 1 ª ordem:

u ' + 2 tan x u = - 1

A solução é a seguinte:

u x = 1 I x B x I x d x + C

Onde I x = e A x d x .

Identificando cada termo:

A x = 2 tan x B x = - 1

Calculando I x :

A x d x = 2 tan x d x

2 tan x d x = 2 sen x cos x d x

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples, já que senos e cossenos estão relacionados quando falamos de integrais ou derivadas.

Chamando v = cos x d v = - sen x d x

2 sen x cos x d x = - 2 1 v d v

- 2 1 v d v = - 2 ln v

Logo,

I x = e - 2 ln v = v - 2

Lembrando que v = cos x :

I x = 1 cos 2 x = sec 2 x

Agora calculando o termo faltante:

B x I x d x = - sec 2 x d x = - tan x

Passo 6

Então nossa solução para u ( x ) ficou:

u x = 1 sec 2 x - tan x + C

E agora vamos substituindo até chegarmos em y novamente:

u = z - 1

z x = sec 2 x C - tan x

E finalmente:

y = z - x + tan x

y = sec 2 x C - tan x - x + tan x

Resposta

23 .   y = - x + tan x + sec 2 x C - tan x

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