Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 10, Questão 25

Nos exercícios 23 a 26 identifique as equações do tipo Ricatti e se é conhecida uma solução particular y 1 , resolva-a. [lembrando, tipo Ricatti: y ' = a x y 2 + b x y + c ( x ) ]

2 5 . d y d x = e 2 x + 1 + 2 e x y + y 2 ,     y 1 = - e x

Passo 1

Bom, a primeira coisa que você tem que fazer é verificar se a equação é do tipo Ricatti ou não. Ele deu a forma certinha desse tipo de equação ali no enunciado, tem que ser assim:

y ' = a x y 2 + b x y + c x

Nossa EDO é a seguinte:

d y d x = e 2 x + 1 + 2 e x y + y 2

Identificando os termos:

a x = 1 b x = 1 + 2 e x c x = e 2 x

Show!!! Ela está do jeitinho que esperávamos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que a gente já sabe que é uma equação do tipo Ricatti, vamos resolvê-la.

Para fazer isso, você precisa introduzir uma variável:

z = y - y 1

Sendo que esse y 1 é uma solução particular. No nosso caso, já foi dada essa solução. Então:

y 1 = - e x

z = y - - e x

y = z - e x

Derivando ambos os lados com respeito a x :

y ' = z ' - e x

Passo 3

Bom, agora a gente substitui esta relação na EDO:

d y d x = e 2 x + 1 + 2 e x y + y 2

z ' - e x = e 2 x + 1 + 2 e x z - e x + z - e x 2

z ' - e x = e 2 x + z - e x + 2 e x z - 2 e 2 x + z 2 - 2 z e x + e 2 x

Então:

z ' = z + z 2

Passo 4

Bom, agora caímos numa EDO do tipo Bernoulli [lembrando que uma equação do tipo Bernoulli é z ' + p x z = q ( x ) z n ]. Vamos resolvê-la! Reescrevendo nossa EDO para ficar daquele jeito:

z ' - z = z 2

z ' z 2 - 1 z = 1

Chamando

u = z 1 - 2 = z - 1

d u d x = - 1 z 2 d z d x z ' z 2 = - u '

Substituindo na EDO:

- u ' - u = 1

u ' + u = - 1

AEEEEE finalmente!!! Agora ficou mais bonitinho. Vamos resolver do jeitinho que já vimos.

Passo 5

Sabendo que nossa EDO é linear de 1 ª ordem:

u ' + u = - 1

A solução é a seguinte:

u x = 1 I x B x I x d x + C

Onde I x = e A x d x .

Identificando cada termo:

A x = 1 B x = - 1

Calculando I x :

A x d x = 1 d x = x

Logo,

I x = e x

Agora calculando o termo faltante:

B x I x d x = - e x d x = - e x

Passo 6

Então nossa solução para u ( x ) ficou:

u x = 1 e x - e x + C

E agora vamos substituindo até chegarmos em y novamente:

u = z - 1

z x = e x C - e x

E finalmente:

y = z - e x

y = e x C - e x - e x = 1 C e - x - 1 - e x

Resposta

2 5 .   y = - e x + 1 C e - x - 1

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