Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 10, Questão 29

Nos exercícios 29 a 30 resolva o PVI.

29 .   y ' = sec 2 x - tan x y + y 2 , se y 1 = tan x é uma solução da EDO e y 0 = 1 / 2 .

Passo 1

Essa equação envolve y 2 e y e por isso ela está com muita cara de ser do tipo Ricatti.Você lembra como é a equação de Ricatti?

Tem que ser assim:

y ' = a x y 2 + b x y + c x

Nossa EDO é a seguinte:

y ' = sec 2 x - tan x y + y 2

Identificando os termos:

a x = 1 b x = - tan x c x = sec 2 x

Show!!! Ela está do jeitinho que esperávamos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que a gente já sabe que é uma equação do tipo Ricatti, vamos resolvê-la.

Para fazer isso, você precisa introduzir uma variável:

z = y - y 1

Sendo que esse y 1 é uma solução particular. No nosso caso, já foi dada essa solução. Então:

y 1 = tan x

z = y - tan x

y = z + tan x

Derivando ambos os lados com respeito a x :

y ' = z ' + sec 2 x

Passo 3

Bom, agora a gente substitui esta relação na EDO:

y ' = sec 2 x - tan x y + y 2

z ' + sec 2 x = sec 2 x - tan x ( z + tan x ) + z + tan x 2

z ' + sec 2 x = sec 2 x - tan x z - tan 2 x + z 2 + 2 z tan x + tan 2 x

z ' = - tan x z + z 2 + 2 z tan x

Então:

z ' = z 2 + z tan x

Passo 4

Bom, agora caímos numa EDO do tipo Bernoulli [lembrando que uma equação do tipo Bernoulli é z ' + p x z = q ( x ) z n ]. Vamos resolvê-la! Reescrevendo nossa EDO para ficar daquele jeito:

z ' - z tan x = z 2

z ' z 2 - tan x 1 z = 1

Chamando

u = z 1 - 2 = z - 1

d u d x = - 1 z 2 d z d x z ' z 2 = - u '

Substituindo na EDO:

- u ' - tan x u = 1

u ' + tan x u = - 1

AEEEEE finalmente!!! Agora ficou mais bonitinho. Vamos resolver do jeitinho que já vimos.

Passo 5

Sabendo que nossa EDO é linear de 1 ª ordem:

u ' + tan x u = - 1

A solução é a seguinte:

u x = 1 I x B x I x d x + C

Onde I x = e A x d x .

Identificando cada termo:

A x = tan x B x = - 1

Calculando I x :

A x d x = tan x d x

tan x d x = sen x cos x d x

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples, já que senos e cossenos estão relacionados quando falamos de integrais ou derivadas.

Chamando v = cos x d v = - sen x d x

sen x cos x d x = - 1 v d v

- 1 v d v = - ln v

Logo,

I x = e - ln v = v - 1

Lembrando que v = cos x :

I x = 1 cos x = sec x

Agora calculando o termo faltante:

B x I x d x = - sec x d x = - ln sec x + tan x

Passo 6

Então nossa solução para u ( x ) ficou:

u x = 1 sec x - ln sec x + tan x + C

E agora vamos substituindo até chegarmos em y novamente:

u = z - 1

z x = sec x C - ln sec x + tan x

E finalmente:

y = z + tan x

y = sec x C - ln sec x + tan x + tan x

Passo 7

Aleluia!!!! Agora só falta a gente usar a condição inicial! Partiu?

y 0 = 1 2

sec 0 C - ln sec 0 + tan 0 + tan 0 = 1 2

1 C - ln 1 = 1 2

1 C = 1 2 C = 2

Então, nossa solução é:

y = sec x 2 - ln sec x + tan x + tan x

Resposta

29 .   y = tan x + sec x 2 - ln sec x + tan x

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