Exercícios Resolvidos de Equação de Riccati

Exercício nº 26 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular

y ' = 9 + 6 y + y 2

Passo 1

Essa também é de Riccati neh

y ' = y 2 + 6 y + 9

Mas note que não temos uma solução particular dela. E agora?

Vamos tentar encontrar uma solução particular, porque senão não conseguiremos aplicar o método que a gente sabe para resolver equações de Riccati.

Temos uma derivada igual a um polinômio não é? Se encontrarmos uma raiz desse polinômio teremos uma solução particular, por que a derivada de uma constante é zero e quando substituirmos a raiz no polinômio vamos ter como resultado zero também, ou seja, teremos uma solução particular. Todo mundo aqui já é safo em polinômios certo? Então procurando um pouco as raízes encontramos y 1 = - 3 como raiz e solução particular. Pronto agora é só aplicar o método.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z - 3

z - 3 ' = z - 3 2 + 6 z - 3 + 9

z ' = z 2 - 6 z + 9 + 6 z - 18 + 9

z ' = z 2

Que é de Bernoulli. Não tem um termo, mas é de Bernoulli.

z ' + 0 z = z 2

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' = z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 = z 2 z 2

z - 2 z ' = 1

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' = 1

u ' = - 1

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' = - 1

Essa nem precisamos usar o método pra resolver. Pensa comigo queremos uma função u x que tem derivada igual a - 1 . E a gente já conhece u x = - x

A solução geral é

u = - x + C

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = - x + C

z = 1 - x + C

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z - 3

y = 1 - x + C - 3

Resposta

y = 1 C - x - 3

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